ÖABT İlköğretim Mat. Bağıntı ve Fonksiyonlar konu anlatımı

Bağıntı ve fonksiyon kavramları, matematiğin neredeyse tüm alanlarında kullanılan temel yapı taşlarıdır. ÖABT İlköğretim Matematik'te bu konudan bağıntının özellikleri (yansıma, simetri, ters simetri, geçişme), denklik bağıntısı ve denklik sınıfları, fonksiyon türleri (birebir, örten, içine, sabit, birim, tek/çift), fonksiyon sayma problemleri, bileşke ve ters fonksiyon soruları gelir. Konu, analiz bölümündeki türev ve integral sorularının da ön koşuludur.

Bağıntı

• A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}; s(A × B) = s(A) · s(B).
• A'dan B'ye her alt küme bir bağıntıdır: s(A) = m, s(B) = n ise bağıntı sayısı 2^(m·n)'dir.
• A üzerinde bir β bağıntısı için:
  • Yansıyan: Her a ∈ A için (a, a) ∈ β.
  • Simetrik: (a, b) ∈ β ⇒ (b, a) ∈ β.
  • Ters simetrik: (a, b) ∈ β ve (b, a) ∈ β ⇒ a = b.
  • Geçişken: (a, b) ∈ β ve (b, c) ∈ β ⇒ (a, c) ∈ β.
• Denklik bağıntısı: Yansıyan, simetrik ve geçişken bağıntıdır. Denklik sınıfları kümenin bir bölüntüsünü oluşturur; tersine her bölüntü bir denklik bağıntısı belirler.
• Sıralama bağıntısı: Yansıyan, ters simetrik ve geçişken bağıntıdır (≤, bölünebilme gibi).
• s(A) = n için: yansıyan bağıntı sayısı 2^(n² − n), simetrik bağıntı sayısı 2^(n(n + 1)/2), hem yansıyan hem simetrik bağıntı sayısı 2^(n(n − 1)/2)'dir.
• Denklik bağıntısının eleman sayısı, denklik sınıflarının eleman sayılarının karelerinin toplamıdır.

Fonksiyon

• f: A → B bağıntısında A'nın her elemanı B'nin yalnız bir elemanıyla eşleniyorsa f fonksiyondur. A tanım, B değer kümesi, f(A) görüntü kümesidir.
• Birebir: f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂. Örten: f(A) = B. Birebir ve örten fonksiyona eşleme (bijeksiyon) denir; yalnız eşlemelerin tersi fonksiyondur.
• s(A) = m, s(B) = n için:
  • Fonksiyon sayısı nᵐ
  • Birebir fonksiyon sayısı n!/(n − m)! (m ≤ n)
  • Örten fonksiyon sayısı (m ≥ n): nᵐ − C(n, 1)(n − 1)ᵐ + C(n, 2)(n − 2)ᵐ − …
  • Kesin artan fonksiyon sayısı C(n, m)
• Tek fonksiyon: f(−x) = −f(x) (grafik orijine göre simetrik). Çift fonksiyon: f(−x) = f(x) (grafik y eksenine göre simetrik).

Bileşke ve ters fonksiyon

• (f ∘ g)(x) = f(g(x)); bileşke birleşmelidir ancak genelde değişmeli değildir.
• (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹; f ∘ f⁻¹ = f⁻¹ ∘ f = I (birim fonksiyon).
• f(x) = ax + b ⇒ f⁻¹(x) = (x − b)/a.
• f(x) = (ax + b)/(cx + d) ⇒ f⁻¹(x) = (−dx + b)/(cx − a).
• f ile f⁻¹'in grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
• Türevlenebilir f için f(a) = b ve f′(a) ≠ 0 ise (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a).

Örnek 1. f(x) = 4x − 3 ve g(x) = x² + 1 için (g ∘ f)(1) − (f ∘ g)(1) değerini bulunuz.

Çözüm: f(1) = 1 ve (g ∘ f)(1) = g(1) = 2. g(1) = 2 ve (f ∘ g)(1) = f(2) = 5. Fark 2 − 5 = −3'tür. Cevap: −3 (Bileşkenin değişmeli olmadığına dikkat.)

Örnek 2. f(x) = (2x + 5)/(x − 3) fonksiyonunun tersini bulunuz.

Çözüm: y = (2x + 5)/(x − 3) ⇒ yx − 3y = 2x + 5 ⇒ x(y − 2) = 3y + 5 ⇒ x = (3y + 5)/(y − 2). Buna göre f⁻¹(x) = (3x + 5)/(x − 2)'dir. Formülle de a = 2, b = 5, c = 1, d = −3 için (−dx + b)/(cx − a) = (3x + 5)/(x − 2) bulunur. Cevap: (3x + 5)/(x − 2)

Örnek 3. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde {1, 2}, {3, 4, 5} bölüntüsünün belirttiği denklik bağıntısı kaç sıralı ikiliden oluşur?

Çözüm: Her denklik sınıfındaki elemanlar kendi aralarında (kendileriyle birlikte) tüm ikilileri oluşturur. 2 elemanlı sınıftan 2² = 4, 3 elemanlı sınıftan 3² = 9 ikili gelir; toplam 4 + 9 = 13'tür. Cevap: 13

Örnek 4. 4 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı bir kümeye kaç tane örten fonksiyon tanımlanabilir?

Çözüm: Tüm fonksiyonlar 2⁴ = 16 tanedir. Örten olmayanlar tüm elemanları tek bir elemana gönderen 2 sabit fonksiyondur. Örten fonksiyon sayısı 16 − 2 = 14'tür. Cevap: 14