ÖABT İlköğretim Mat. Sayılar Teorisi konu anlatımı

Sayılar teorisi, tam sayıların bölünebilme, asallık ve kalan yapısını inceler. ÖABT İlköğretim Matematik'te alan bilgisinin en çok soru gelen konularından biridir; çünkü ortaokul programındaki çarpanlar-katlar, EBOB-EKOK ve bölünebilme kurallarının kuramsal arka planını oluşturur. Sınavda bölen sayısı ve bölen toplamı, EBOB-EKOK özellikleri, modüler aritmetik (Fermat ve Euler teoremleri, kalan hesapları), doğrusal kongrüanslar, Çin kalan teoremi ve doğrusal Diophantine denklemler sıkça sorulur.

Bölünebilme ve asal sayılar

• a | b: b = a · k olacak biçimde bir k tam sayısı vardır.
• Bölme algoritması: Her a ve b > 0 için a = b · q + r, 0 ≤ r < b olacak biçimde tek q ve r vardır.
• Aritmetiğin temel teoremi: 1'den büyük her doğal sayı asal çarpanlarına sıralama dışında tek türlü ayrılır.
• n'nin asal olup olmadığını anlamak için √n'e kadar olan asallara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterlidir.
• Bölünebilme kuralları: 3 ve 9 için rakamlar toplamı, 4 için son iki basamak, 8 için son üç basamak, 11 için basamakların sağdan başlayarak (+, −, +, …) işaretli toplamı kullanılır.

Bölen sayısı ve bölen toplamı

n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ ise

• Pozitif bölen sayısı: d(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1)
• Pozitif bölenlerin toplamı: σ(n) = (1 + p₁ + … + p₁^a₁) · … · (1 + pₖ + … + pₖ^aₖ)
• Euler φ fonksiyonu (n'den küçük ve n ile aralarında asal pozitif sayıların sayısı): φ(n) = n(1 − 1/p₁)(1 − 1/p₂)…(1 − 1/pₖ)
• n! sayısının sonundaki sıfır sayısı: [n/5] + [n/25] + [n/125] + …

EBOB – EKOK

• ebob(a, b) · ekok(a, b) = a · b
• Öklid algoritması: ebob(a, b) = ebob(b, a mod b); son sıfırdan farklı kalan EBOB'dur.
• Bézout özdeşliği: ebob(a, b) = ax + by olacak biçimde x, y tam sayıları vardır.
• ebob(a, b) = d ise a = d·m, b = d·n ve ebob(m, n) = 1'dir.

Modüler aritmetik

• a ≡ b (mod n) ⇔ n | (a − b). Toplama, çıkarma, çarpma ve üs almada kongrüans korunur.

Doğrusal Diophantine denklemler

ax + by = c denkleminin tam sayı çözümü olması için gerek ve yeter koşul d = ebob(a, b) | c'dir. (x₀, y₀) bir çözümse genel çözüm x = x₀ + (b/d)t, y = y₀ − (a/d)t (t ∈ ℤ) biçimindedir.

Örnek 1. 180 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını ve toplamını bulunuz.

Çözüm: 180 = 2² · 3² · 5. Bölen sayısı (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18'dir. Bölen toplamı (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 7 · 13 · 6 = 546'dır. Cevap: 18 ve 546

Örnek 2. Öklid algoritmasıyla ebob(1071, 462) değerini bulunuz.

Çözüm: 1071 = 2 · 462 + 147 462 = 3 · 147 + 21 147 = 7 · 21 + 0 Son sıfırdan farklı kalan 21'dir. Cevap: 21

Örnek 3. 3¹⁰⁰ sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm: 7 asal ve 7 ∤ 3 olduğundan Fermat teoremiyle 3⁶ ≡ 1 (mod 7). 100 = 6 · 16 + 4 olduğundan 3¹⁰⁰ ≡ 3⁴ = 81 ≡ 4 (mod 7) (81 = 7 · 11 + 4). Cevap: 4

Örnek 4. 5x + 3y = 47 denkleminin pozitif tam sayı çözümlerini bulunuz.

Çözüm: ebob(5, 3) = 1 | 47 olduğundan çözüm vardır. Denklem mod 3'te 5x ≡ 47, yani 2x ≡ 2 (mod 3) ve x ≡ 1 (mod 3) verir. x = 1 için y = 14 olduğundan genel çözüm x = 1 + 3t, y = 14 − 5t'dir. x > 0 ve y > 0 koşulu t = 0, 1, 2 değerlerini verir: (1, 14), (4, 9), (7, 4). Cevap: 3 pozitif çözüm