ÖABT İlköğretim Mat. Lineer Cebir (Matris, Determinant, Vektör Uzayları) konu anlatımı

Lineer cebir; matrisler, determinantlar, doğrusal denklem sistemleri, vektör uzayları ve doğrusal dönüşümlerle ilgilenir. ÖABT İlköğretim Matematik sınavında bu konu alan bilgisinin en ağırlıklı başlıklarından biridir. Sorular çoğunlukla işlem odaklıdır: matris çarpımı, 2×2 ve 3×3 determinant, ters matris, rank, denklem sistemlerinin çözümü, özdeğer–özvektör hesabı ve alt uzay/boyut sorgulaması.

Başarının anahtarı, determinantın özelliklerini (satır işlemleri, çarpım kuralı, skalerle çarpım) ve özdeğerlerin iz ile determinant arasındaki ilişkisini ezbere değil, anlayarak kullanmaktır.

Matris işlemleri

• m×n boyutlu A ile n×p boyutlu B çarpılabilir; AB matrisi m×p boyutludur. (AB)ᵢⱼ = A'nın i. satırı ile B'nin j. sütununun iç çarpımı.
• Matris çarpımı genelde değişmeli değildir: AB ≠ BA olabilir. Birleşme ve dağılma özellikleri vardır.
• Devrik (transpoz): (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ; (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, (Aᵀ)ᵀ = A.
• İz: tr(A) = köşegen elemanların toplamı; tr(AB) = tr(BA).

Determinant

• 2×2: det [[a, b], [c, d]] = ad − bc.
• 3×3: Sarrus kuralı ya da bir satıra/sütuna göre kofaktör açılımı.
• det(AB) = det(A)·det(B), det(Aᵀ) = det(A), det(A⁻¹) = 1 / det(A).
• n×n matris için det(kA) = kⁿ·det(A).
• İki satırın yer değiştirmesi işareti değiştirir; bir satırın k katı başka satıra eklenirse determinant değişmez; iki satırı orantılı matrisin determinantı 0'dır.
• Üçgensel matrisin determinantı köşegen elemanların çarpımıdır.
• det(adj A) = (det A)ⁿ⁻¹ (n×n için).

Ters matris

• A tersinir ⇔ det(A) ≠ 0.
• 2×2: [[a, b], [c, d]]⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]].
• Genel: A⁻¹ = adj(A) / det(A); (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

Doğrusal denklem sistemleri

• AX = B sistemi; Gauss eliminasyonu ile basamak biçime indirgenir.
• Cramer kuralı: det(A) ≠ 0 ise xᵢ = Dᵢ / D; Dᵢ, A'nın i. sütunu yerine B yazılarak elde edilen determinanttır.
• rank(A) = rank([A | B]) = n ⇒ tek çözüm; rank(A) = rank([A | B]) < n ⇒ sonsuz çözüm; rank(A) < rank([A | B]) ⇒ çözüm yok.
• Homojen sistem (AX = 0) her zaman x = 0 çözümüne sahiptir; det(A) = 0 ise sıfırdan farklı çözüm de vardır.

Vektör uzayları

• Alt uzay testi: sıfır vektörünü içerir, toplama ve skalerle çarpma altında kapalıdır.
• v₁, …, vₖ doğrusal bağımsız ⇔ c₁v₁ + … + cₖvₖ = 0 yalnızca c₁ = … = cₖ = 0 için sağlanır. ℝⁿ'de n vektör için: bağımsız ⇔ bu vektörlerden kurulan matrisin determinantı ≠ 0.
• Taban: uzayı geren, doğrusal bağımsız küme. Boyut: tabandaki vektör sayısı. dim ℝⁿ = n.
• İç çarpım: u·v = u₁v₁ + … + uₙvₙ; u·v = 0 ⇔ u ve v diktir.

Doğrusal dönüşümler

• T(u + v) = T(u) + T(v), T(cu) = cT(u).
• Boyut (rank–nullity) teoremi: T: V → W için dim V = dim Çek(T) + dim Görüntü(T).
• ℝ²'de T'nin standart matrisi A ise bir bölgenin alanı |det A| katına çıkar.

Özdeğer ve özvektör

• Av = λv (v ≠ 0). Özdeğerler karakteristik denklemden bulunur: det(A − λI) = 0.
• 2×2 için: λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0.
• Özdeğerlerin toplamı = tr(A), çarpımı = det(A).
• A'nın özdeğeri λ ise Aᵏ'nin özdeğeri λᵏ, A⁻¹'in özdeğeri 1/λ, A + cI'nın özdeğeri λ + c'dir.
• Cayley–Hamilton: Her kare matris kendi karakteristik denklemini sağlar.
• Üçgensel matrisin özdeğerleri köşegen elemanlarıdır.

Örnek 1. A = [[2, −1, 0], [1, 3, 2], [0, 1, 4]] matrisinin determinantını bulunuz.

Çözüm: Birinci satıra göre açalım: det A = 2·(3·4 − 2·1) − (−1)·(1·4 − 2·0) + 0 = 2·10 + 4 = 24.

Örnek 2. A = [[3, 2], [4, 3]] matrisinin tersini bulunuz.

Çözüm: det A = 3·3 − 2·4 = 1. A⁻¹ = (1/1)·[[3, −2], [−4, 3]] = [[3, −2], [−4, 3]]. Kontrol: A·A⁻¹ = [[9 − 8, −6 + 6], [12 − 12, −8 + 9]] = I.

Örnek 3. x + 2y = 5 ve 3x − y = 1 sistemini Cramer kuralıyla çözünüz.

Çözüm: D = 1·(−1) − 2·3 = −7. Dx = 5·(−1) − 2·1 = −7, Dy = 1·1 − 5·3 = −14. x = Dx / D = 1, y = Dy / D = 2.

Örnek 4. A = [[5, 4], [1, 2]] matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.

Çözüm: tr A = 7, det A = 10 − 4 = 6. Karakteristik denklem λ² − 7λ + 6 = 0 ⇒ λ = 1 veya λ = 6. λ = 6 için (5 − 6)x + 4y = 0 ⇒ x = 4y, özvektör (4, 1). λ = 1 için 4x + 4y = 0 ⇒ özvektör (1, −1). Kontrol: özdeğerlerin toplamı 7 = tr A, çarpımı 6 = det A.