ÖABT İlköğretim Mat. Düzlem ve Uzay Geometrisi konu anlatımı

Düzlem ve uzay geometrisi; açılar, üçgenler, çokgenler, çember ve daire ile prizma, silindir, piramit, koni ve küre gibi katı cisimlerin özelliklerini, alan ve hacim hesaplarını kapsar. ÖABT İlköğretim Matematik'te bu başlıkta hem temel formül bilgisi (çokgen açıları, alan–hacim) hem de teoremlerin (Pisagor, açıortay, benzerlik, kuvvet, Euler) doğru kullanımı ölçülür.

Açılar ve üçgenler

• Üçgenin iç açıları toplamı 180°; bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Üçgen eşitsizliği: |b − c| < a < b + c.
• Pisagor: dik üçgende a² + b² = c² (c hipotenüs). Hipotenüse ait yükseklik h = (a·b)/c; öklit bağıntıları: h² = p·k, a² = p·c.
• Alan: (taban·yükseklik)/2 = (1/2)·a·b·sin C. Heron: u = (a + b + c)/2 olmak üzere Alan = √(u(u − a)(u − b)(u − c)).
• İç teğet çember yarıçapı r = Alan / u.
• Açıortay teoremi: A'dan çizilen iç açıortay BC'yi D'de kesiyorsa BD / DC = AB / AC.
• Kenarortay uzunluğu: Vₐ² = (2b² + 2c² − a²)/4.
• Benzer üçgenlerde benzerlik oranı k ise çevreler oranı k, alanlar oranı k², hacimler (benzer cisimlerde) oranı k³.

Çokgenler

• n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı (n − 2)·180°, dış açıları toplamı 360°.
• Düzgün n-genin bir iç açısı (n − 2)·180°/n, bir dış açısı 360°/n.
• Köşegen sayısı n(n − 3)/2.
• Kenarı a olan eşkenar üçgenin alanı a²√3/4; düzgün altıgenin alanı 6·a²√3/4 = 3a²√3/2.
• Yamuk alanı: ((a + c)/2)·h. Paralelkenar: taban·yükseklik. Eşkenar dörtgen: (e·f)/2.

Çember ve daire

• Çevre 2πr, alan πr². Yay uzunluğu 2πr·(α/360°), daire dilimi alanı πr²·(α/360°).
• Çevre açı, aynı yayı gören merkez açının yarısıdır; çapı gören çevre açı 90°'dir.
• Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180°'dir.
• Kuvvet (kesişen kirişler): kirişler P'de kesişiyorsa PA·PB = PC·PD. Dıştaki P noktası için teğet uzunluğu t² = PA·PB.

Katı cisimler

• Dikdörtgenler prizması (a, b, c): V = abc, cisim köşegeni √(a² + b² + c²). Küp: V = a³, köşegen a√3, yüzey köşegeni a√2.
• Silindir: V = πr²h, yanal alan 2πrh, toplam alan 2πr(r + h).
• Piramit: V = (taban alanı · yükseklik)/3. Kare dik piramitte yan yüz yüksekliği √(h² + (a/2)²).
• Koni: V = πr²h/3, ana doğru l = √(r² + h²), yanal alan πrl, toplam alan πr(r + l).
• Küre: V = (4/3)πr³, yüzey alanı 4πr².
• Euler formülü (konveks çokyüzlü): K − A + Y = 2 (köşe − ayrıt + yüz).

Örnek 1. Düzgün sekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Çözüm: İç açılar toplamı (8 − 2)·180° = 1080°; bir iç açı 1080° / 8 = 135°. Kısa yol: dış açı 360°/8 = 45°, iç açı 180° − 45° = 135°.

Örnek 2. Kenarları 5, 5 ve 6 cm olan üçgenin alanını bulunuz.

Çözüm: İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik tabanı ikiye böler: h = √(5² − 3²) = 4, alan (6·4)/2 = 12 cm². Heron ile kontrol: u = 8, Alan = √(8·3·3·2) = √144 = 12.

Örnek 3. Taban yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm olan dik koninin ana doğrusunu, toplam alanını ve hacmini bulunuz.

Çözüm: l = √(25 + 144) = 13 cm. Yanal alan π·5·13 = 65π, taban alanı 25π, toplam alan 90π cm². Hacim π·25·12/3 = 100π cm³.

Örnek 4. Ayrıtı 6 cm olan küpün içine teğet olan kürenin hacminin küpün hacmine oranını bulunuz.

Çözüm: Kürenin çapı küpün ayrıtına eşittir: r = 3. Küre hacmi (4/3)π·27 = 36π, küp hacmi 216. Oran 36π/216 = π/6.