ÖABT İlköğretim Mat. Çok Değişkenli Fonksiyonlar konu anlatımı

Çok değişkenli fonksiyonlar, tek değişkenli analizde öğrenilen limit, süreklilik, türev ve integral kavramlarının ℝ² ve ℝ³ uzaylarına genişletilmesidir. ÖABT İlköğretim Matematik sınavında bu konu genellikle işlem odaklı sorulur: tanım kümesi belirleme, iki değişkenli limitin varlığı, kısmi türev ve zincir kuralı, gradyan ve yönlü türev, teğet düzlem, yerel ekstremum sınıflandırması, Lagrange çarpanları ile koşullu ekstremum ve iki katlı ya da üç katlı integral hesabı.

Konunun kilit fikri şudur: Tek değişkende bir noktaya yalnızca iki yönden (sağdan ve soldan) yaklaşılırken iki değişkende sonsuz sayıda yoldan yaklaşılabilir. Bu nedenle limit, süreklilik ve türevlenebilirlik kavramları daha hassastır. İntegral tarafında ise bölgenin doğru betimlenmesi, sınırların doğru yazılması ve gerektiğinde kutupsal koordinatlara ya da genel değişken değiştirmeye geçilmesi başarıyı belirler.

Tanım kümesi ve limit

• z = f(x, y) fonksiyonunun tanım kümesi, ifadenin reel sayı belirttiği (x, y) noktalarının kümesidir. Karekök içi negatif olamaz, payda sıfır olamaz, logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
• lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = L olması için (a, b) noktasına hangi yoldan yaklaşılırsa yaklaşılsın f değerlerinin L'ye yaklaşması gerekir.
• Yol testi: İki farklı yol boyunca farklı limit değerleri elde edilirse limit yoktur. y = mx, y = kx², x = y² gibi yollar sık kullanılır.
• Sıkıştırma: |f(x, y) − L| ≤ g(x, y) ve g → 0 ise limit L'dir. Örneğin |x²y / (x² + y²)| ≤ |y| olduğundan limit 0'dır.
• Kutupsal geçiş: x = r·cos θ, y = r·sin θ yazılıp ifade θ'dan bağımsız olarak r → 0 iken sıfıra gidiyorsa limit 0'dır.

Kısmi türev ve zincir kuralı

• ∂f/∂x hesaplanırken y sabit, ∂f/∂y hesaplanırken x sabit tutulur.
• Schwarz (Clairaut) teoremi: fₓᵧ ve fᵧₓ sürekli ise fₓᵧ = fᵧₓ olur.
• Zincir kuralı: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) ise dz/dt = (∂f/∂x)·(dx/dt) + (∂f/∂y)·(dy/dt).
• Kapalı fonksiyon: F(x, y, z) = 0 ile tanımlanan z için ∂z/∂x = −Fₓ / F_z ve ∂z/∂y = −Fᵧ / F_z (F_z ≠ 0).

Gradyan, yönlü türev ve teğet düzlem

• ∇f = (fₓ, fᵧ, f_z).
• u birim vektör olmak üzere yönlü türev: D_u f = ∇f · u. Verilen yön vektörü birim değilse önce normuna bölünür.
• En hızlı artış ∇f yönündedir ve bu yöndeki yönlü türev |∇f| değerine eşittir.
• z = f(x, y) yüzeyine (a, b, f(a, b)) noktasındaki teğet düzlem: z − f(a, b) = fₓ(a, b)(x − a) + fᵧ(a, b)(y − b).

Ekstremum ve Lagrange çarpanları

• Kritik nokta: fₓ = 0 ve fᵧ = 0.
• İkinci türev testi: D = fₓₓ·fᵧᵧ − (fₓᵧ)². D > 0 ve fₓₓ > 0 ise yerel minimum; D > 0 ve fₓₓ < 0 ise yerel maksimum; D < 0 ise eyer noktası; D = 0 ise test sonuç vermez.
• g(x, y) = c kısıtı altında f'nin ekstremumları için ∇f = λ∇g ve g = c birlikte çözülür.

Katlı integraller

• Fubini teoremi: Dikdörtgen bölgede sürekli fonksiyon için integrasyon sırası değiştirilebilir.
• Sıra değiştirilirken bölge çizilip sınırlar yeniden yazılmalıdır.
• Kutupsal koordinatlar: dA = r dr dθ. x² + y² ifadesi r² olur.
• Genel değişken değiştirme: dA = |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv; Jacobian determinantının mutlak değeri alınır.
• Silindirik koordinatlarda dV = r dz dr dθ, küresel koordinatlarda dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.