ÖABT İlköğretim Mat. Soyut Cebir (Gruplar, Halkalar, Cisimler) konu anlatımı

Soyut cebir, bir küme ile bu küme üzerinde tanımlı işlemlerin oluşturduğu cebirsel yapıları inceler. ÖABT'de bu başlıktan gelen sorular üç yapı etrafında döner: grup, halka ve cisim. Tipik sorular; bir işlemin birim ve ters elemanını bulma, bir yapının grup olup olmadığını denetleme, ℤₙ'de eleman mertebesi, alt grup sayısı, Lagrange teoremi, permütasyon mertebesi, homomorfizma çekirdeği ve ℤₙ'de denklem çözme üzerinedir.

İşlem ve özellikleri

• A kümesinde ikili işlem: ∗ : A × A → A (kapalılık tanımın içindedir).
• Birleşme: (a∗b)∗c = a∗(b∗c). Değişme: a∗b = b∗a.
• Birim (etkisiz) eleman e: her a için a∗e = e∗a = a.
• a'nın tersi a⁻¹: a∗a⁻¹ = a⁻¹∗a = e.

Grup

• (G, ∗) grup ⇔ kapalılık, birleşme, birim eleman, her elemanın tersi.
• Değişme özelliği de varsa değişmeli (Abel) grup.
• Örnekler: (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ∖{0}, ·), (ℤₙ, +), Sₙ (permütasyon grubu, mertebesi n!).
• Grup olmayanlar: (ℕ, +) (ters yok), (ℤ, ·) (2'nin tersi yok), (ℚ, ·) (0'ın tersi yok), (ℤ, −) (birleşme yok).
• Bir grupta birim ve her elemanın tersi tektir; (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.

Mertebe, devirli grup, alt grup

• Grubun mertebesi |G|: eleman sayısı. Elemanın mertebesi: aⁿ = e olan en küçük pozitif n.
• (ℤₙ, +)'da k elemanının mertebesi n / ebob(k, n)'dir.
• Devirli grup: tek bir elemanla üretilir. ℤₙ devirlidir; üreteç sayısı φ(n)'dir (Euler fonksiyonu).
• ℤₙ'nin her alt grubu devirlidir ve n'nin her pozitif böleni d için mertebesi d olan tam bir alt grup vardır; alt grup sayısı n'nin pozitif bölen sayısına eşittir.
• Lagrange teoremi: Sonlu G'nin her H alt grubu için |H|, |G|'yi böler. İndeks [G : H] = |G| / |H| (farklı yan küme sayısı). Sonuç: her elemanın mertebesi |G|'yi böler.
• ℤₘ × ℤₙ devirlidir ⇔ ebob(m, n) = 1. (a, b)'nin mertebesi okek(|a|, |b|)'dir.

Permütasyonlar

• Ayrık devirlerin çarpımı olarak yazılan bir permütasyonun mertebesi, devir uzunluklarının okek'idir. Örneğin (1 2 3)(4 5)'in mertebesi okek(3, 2) = 6.
• S₃'ün mertebesi 6'dır ve değişmeli olmayan en küçük gruptur.

Homomorfizma

• f: G → H, f(a∗b) = f(a) ∘ f(b). f(e) = e', f(a⁻¹) = f(a)⁻¹.
• Çekirdek Çek f = {a : f(a) = e'} bir normal alt gruptur; f birebir ⇔ Çek f = {e}.
• Birinci izomorfizma teoremi: G / Çek f ≅ f(G); sonlu durumda |G| = |Çek f| · |f(G)|.

Halka ve cisim

• (R, +, ·) halka: (R, +) değişmeli grup, çarpma birleşmeli, çarpma toplama üzerine dağılır.
• Sıfır bölen: a ≠ 0, b ≠ 0 iken a·b = 0. ℤ₆'da 2·3 = 0.
• Tamlık bölgesi: birimli, değişmeli ve sıfır böleni olmayan halka (örn. ℤ).
• Cisim: sıfırdan farklı her elemanın çarpmaya göre tersi olan değişmeli birimli halka (ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ).
• ℤₙ cisimdir ⇔ n asaldır. ℤₙ'de a'nın çarpma tersi vardır ⇔ ebob(a, n) = 1.
• Karakteristik: n·1 = 0 olan en küçük pozitif n (yoksa 0). char(ℤₘ × ℤₙ) = okek(m, n).
• ℤ'de nℤ ideali maksimaldir ⇔ n asaldır.

Örnek 1. ℤ üzerinde a∗b = a + b − 3 işlemi tanımlanıyor. Birim elemanı ve 10'un tersini bulunuz.

Çözüm: a∗e = a + e − 3 = a ⇒ e = 3. a'nın tersi x ise a + x − 3 = 3 ⇒ x = 6 − a. 10'un tersi 6 − 10 = −4'tür. Kontrol: 10∗(−4) = 10 − 4 − 3 = 3 = e.

Örnek 2. (ℤ₁₂, +) grubunda 8 elemanının mertebesini bulunuz.

Çözüm: Mertebe 12 / ebob(8, 12) = 12 / 4 = 3'tür. Kontrol: 8 + 8 + 8 = 24 ≡ 0 (mod 12) ve 8 + 8 = 16 ≡ 4 ≠ 0.

Örnek 3. S₅'te σ = (1 3 5)(2 4) permütasyonunun mertebesini ve σ²'yi bulunuz.

Çözüm: Devirler ayrık olduğundan mertebe okek(3, 2) = 6'dır. σ² = (1 3 5)²·(2 4)² = (1 5 3)·birim = (1 5 3).

Örnek 4. ℤ₇'de 5x = 3 denklemini çözünüz.

Çözüm: 5·3 = 15 ≡ 1 (mod 7) olduğundan 5⁻¹ = 3'tür. x = 3·3 = 9 ≡ 2. Kontrol: 5·2 = 10 ≡ 3 (mod 7).