ÖABT İlköğretim Mat. İntegral ve Uygulamaları konu anlatımı

İntegral, türevin ters işlemi (belirsiz integral) ve bir büyüklüğün sonsuz küçük parçalarının toplamı (belirli integral) olmak üzere iki yüzü olan temel bir analiz kavramıdır. Bu iki yüz, Analizin Temel Teoremi ile birbirine bağlanır.

ÖABT İlköğretim Matematik sınavında integral konusu; temel integral formülleri, değişken değiştirme, kısmi integrasyon, basit kesirlere ayırma, trigonometrik integraller, Analizin Temel Teoremi, alan, dönel cisim hacmi, yay uzunluğu, ortalama değer ve genelleştirilmiş (has olmayan) integraller başlıklarında sorulur. Riemann toplamının limitini belirli integrale dönüştürme de sık görülen bir soru tipidir.

Belirsiz integral ve temel formüller

• F′(x) = f(x) ise ∫ f(x) dx = F(x) + C.
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫ dx/x = ln|x| + C.
• ∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C.
• ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sec²x dx = tan x + C.
• ∫ dx/(1 + x²) = arctan x + C, ∫ dx/√(1 − x²) = arcsin x + C.

İntegral alma yöntemleri

Belirli integral ve Analizin Temel Teoremi

• f, [a, b]'de sürekli ve F′ = f ise ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• Temel teoremin birinci kısmı: G(x) = ∫ₐ^{u(x)} f(t) dt ise G′(x) = f(u(x))·u′(x). Alt sınır da değişken ise G′(x) = f(v(x))·v′(x) − f(u(x))·u′(x) biçiminde genellenir.
• Özellikler: ∫ₐᵃ f = 0, ∫ₐᵇ f = −∫ᵇₐ f, ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f.
• Tek fonksiyonda ∫₋ₐᵃ f = 0; çift fonksiyonda ∫₋ₐᵃ f = 2∫₀ᵃ f.
• Riemann toplamı: lim_{n→∞} (1/n)·Σ_{k=1}^{n} f(k/n) = ∫₀¹ f(x) dx.
• Ortalama değer: f'nin [a, b] üzerindeki ortalama değeri (1/(b − a))·∫ₐᵇ f(x) dx'tir.

Uygulamalar

Genelleştirilmiş integraller

• ∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{t→∞} ∫ₐᵗ f(x) dx. Limit sonlu ise integral yakınsaktır.
• ∫₁^∞ dx/xᵖ: p > 1 ise yakınsak (değeri 1/(p − 1)), p ≤ 1 ise ıraksak.
• ∫₀¹ dx/xᵖ: p < 1 ise yakınsak (değeri 1/(1 − p)), p ≥ 1 ise ıraksak.
• ∫₀^∞ xⁿ·e^(−x) dx = n! (Gama fonksiyonu Γ(n + 1)).

Örnek 1. ∫ x·√(x² + 1) dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: u = x² + 1 alınırsa du = 2x dx olur. İntegral (1/2)∫ √u du = (1/2)·(2/3)·u^(3/2) + C = (1/3)(x² + 1)^(3/2) + C bulunur.

Örnek 2. ∫₁ᵉ ln x dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kısmi integrasyonda u = ln x, dv = dx seçilirse du = dx/x, v = x olur. ∫ ln x dx = x ln x − ∫ 1 dx = x ln x − x. Sınırlar yerine yazılırsa (e·1 − e) − (1·0 − 1) = 0 + 1 = 1 bulunur.

Örnek 3. y = 4 − x² parabolü ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Çözüm: Parabol x eksenini x = ±2'de keser. Fonksiyon çift olduğundan alan 2∫₀² (4 − x²) dx = 2·(8 − 8/3) = 2·(16/3) = 32/3 birimkaredir.

Örnek 4. y = x², 0 ≤ x ≤ 1 eğrisi ile x ekseni arasındaki bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz.

Çözüm: Disk yöntemi ile V = π∫₀¹ (x²)² dx = π∫₀¹ x⁴ dx = π/5 birimküp bulunur.

Örnek 5. G(x) = ∫₁^{x³} dt/(1 + t) ise G′(1) değerini bulunuz.

Çözüm: Analizin Temel Teoremi ve zincir kuralına göre G′(x) = 3x²/(1 + x³) olur. x = 1 için G′(1) = 3/2 bulunur.

Örnek 6. ∫₁^∞ dx/x² integralinin yakınsak olup olmadığını inceleyiniz.

Çözüm: ∫₁ᵗ dx/x² = 1 − 1/t olur. t → ∞ iken bu ifade 1'e gider; integral yakınsaktır ve değeri 1'dir.