ÖABT İlköğretim Mat. Polinomlar, Denklemler ve Eşitsizlikler konu anlatımı

Polinomlar, denklemler ve eşitsizlikler cebirin çekirdeğini oluşturur ve analiz konularında (limit, türev, integral) sürekli kullanılır. ÖABT İlköğretim Matematik'te bu konudan polinom işlemleri ve bölme, kalan teoremi, rasyonel kök teoremi, kökler ile katsayılar arasındaki bağıntılar (Vieta), katlı kökler, ikinci dereceden denklemlerin diskriminantı, mutlak değerli ve köklü denklemler ile polinom/rasyonel eşitsizlikler ve eşitsizlik sistemleri sorulur.

Polinomlar ve bölme

• P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ (aₙ ≠ 0) polinomunun derecesi n, başkatsayısı aₙ, sabit terimi a₀ = P(0)'dır.

• İkinci dereceden bir bölene göre kalan en çok birinci derecedendir: kalan ax + b yazılıp bölenin kökleri yerine konur. x² + 1 gibi köksüz bölenlerde x² yerine −1 yazılarak indirgenir.
• Katlı kök: a, P'nin en az iki katlı kökü ⇔ P(a) = 0 ve P′(a) = 0.
• Rasyonel kök teoremi: Tam katsayılı P(x) = aₙxⁿ + … + a₀ polinomunun p/q (sadeleşmiş) rasyonel kökü varsa p | a₀ ve q | aₙ'dir.

Kökler ve katsayılar (Vieta)

• ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a, Δ = b² − 4ac.
  • Δ > 0: iki farklı gerçek kök; Δ = 0: çakışık kök; Δ < 0: gerçek kök yok.
  • x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂, x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂), (x₁ − x₂)² = Δ/a².
• ax³ + bx² + cx + d = 0: x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = −d/a.
• Her x ∈ ℝ için ax² + bx + c > 0 ⇔ a > 0 ve Δ < 0.

Eşitsizlikler

• |x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r; |x − a| > r ⇔ x < a − r veya x > a + r.
• |x − a| + |x − b| ifadesi sayı doğrusunda x'in a ve b'ye uzaklıkları toplamıdır; en küçük değeri |a − b|'dir.
• İşaret tablosu: Pay ve paydanın kökleri sıralanır; en sağdaki aralıkta işaret başkatsayıların işaretine göre belirlenir, tek katlı köklerde işaret değişir, çift katlı köklerde değişmez. Paydanın kökleri çözüm kümesine hiçbir zaman dâhil edilmez.
• Eşitsizlik sistemi: Her eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı bulunur, sonra kesişim alınır.
• √f(x) > g(x) türü eşitsizliklerde tanım koşulu f(x) ≥ 0 yazılır; g(x) < 0 ve g(x) ≥ 0 durumları ayrı incelenir.

Örnek 1. P(x) polinomunun x − 2 ile bölümünden kalan 7, x + 1 ile bölümünden kalan 1'dir. P(x)'in x² − x − 2 ile bölümünden kalanı bulunuz.

Çözüm: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Kalan K(x) = ax + b olsun. P(2) = 2a + b = 7 ve P(−1) = −a + b = 1. Taraf tarafa çıkarılırsa 3a = 6, a = 2 ve b = 3 bulunur. Cevap: 2x + 3

Örnek 2. x³ − 7x + 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm: Rasyonel kök adayları ±1, ±2, ±3, ±6'dır. x = 1 için 1 − 7 + 6 = 0 olduğundan x − 1 çarpandır. Bölme sonucunda x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x² + x − 6) = (x − 1)(x + 3)(x − 2) bulunur. Cevap: −3, 1, 2 (Vieta kontrolü: kökler toplamı 0, çarpımı −6'dır.)

Örnek 3. x² − 6x + 2 = 0 denkleminin kökleri a ve b ise a² + b² değerini bulunuz.

Çözüm: a + b = 6, ab = 2. a² + b² = (a + b)² − 2ab = 36 − 4 = 32. Cevap: 32

Örnek 4. (x − 2)²(x + 1)/(x − 4) ≤ 0 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: Kökler −1, 2 (çift katlı) ve 4 (payda). En sağ aralıkta (x > 4) ifade pozitiftir. 4'te işaret değişir: 2 < x < 4 aralığında negatif; 2 çift katlı olduğundan −1 < x < 2 aralığında da negatif; −1'de işaret değişir, x < −1'de pozitif. Eşitlik x = −1 ve x = 2'de sağlanır; x = 4 paydayı sıfırlar. Cevap: [−1, 4)