ÖABT İlköğretim Mat. Dönüşüm Geometrisi konu anlatımı

Dönüşüm geometrisi, düzlemdeki noktaları belirli kurallarla başka noktalara taşıyan fonksiyonları inceler. Temel dönüşümler öteleme, dönme, yansıma ve homotetidir (öteleme–yansıma bileşkesi olan kayma yansıması da bu aileye girer). Uzunlukları ve açıları koruyan dönüşümlere izometri (eşölçülü dönüşüm) denir; öteleme, dönme, yansıma ve kayma yansıması izometridir. Homoteti ise şekli korur ama boyutu oranında değiştirir; bu yüzden bir benzerlik dönüşümüdür. Ortaokul matematik programında öteleme, yansıma ve dönme; simetri ve örüntülerle birlikte işlenir.

Öteleme

• v = (a, b) vektörüyle öteleme: (x, y) → (x + a, y + b).
• Şeklin yönünü ve boyutunu korur; iki ötelemenin bileşkesi yine bir ötelemedir.

Yansıma (eksene göre simetri)

• x eksenine göre: (x, y) → (x, −y).
• y eksenine göre: (x, y) → (−x, y).
• y = x doğrusuna göre: (x, y) → (y, x).
• y = −x doğrusuna göre: (x, y) → (−y, −x).
• x = k doğrusuna göre: (x, y) → (2k − x, y); y = k doğrusuna göre: (x, y) → (x, 2k − y).
• Orijine göre (noktaya göre simetri): (x, y) → (−x, −y); bu, 180°'lik dönmeyle aynıdır.
• Genel doğru ax + by + c = 0'a göre: P ile görüntüsünün orta noktası doğru üzerindedir ve PP' doğruya diktir.
• Yansıma yönü (saat yönü/tersi sıralamasını) tersine çevirir.

Dönme

• Orijin etrafında pozitif (saatin tersi) yönde θ kadar: (x, y) → (x·cos θ − y·sin θ, x·sin θ + y·cos θ).
• 90°: (x, y) → (−y, x); 180°: (x, y) → (−x, −y); 270° (ya da −90°): (x, y) → (y, −x).
• Başka bir M(h, k) noktası etrafında dönme: önce M'yi orijine taşı, döndür, sonra geri ötele.

Homoteti

• Merkezi O, oranı k olan homoteti: (x, y) → (kx, ky). Merkezi M ise P' = M + k·(P − M).
• Uzunluklar |k|, alanlar k², hacimler |k|³ katına çıkar. k < 0 ise görüntü merkezin öbür tarafına düşer.
• |k| ≠ 1 ise izometri değildir.

Bileşke dönüşümler

• Paralel iki doğruya göre ardışık yansımanın bileşkesi, doğrular arası uzaklığın iki katı kadar ötelemedir.
• Kesişen iki doğruya göre ardışık yansımanın bileşkesi, kesişim noktası etrafında doğrular arasındaki açının iki katı kadar dönmedir.
• x eksenine sonra y eksenine göre yansıma = orijin etrafında 180° dönme.

Simetri

• Doğrusal (eksenel) simetri: şekli kendi üzerine taşıyan yansıma.
• Dönme simetrisi: şekli kendi üzerine taşıyan dönme; düzgün n-gen için en küçük açı 360°/n.
• Düzgün n-genin n simetri ekseni vardır; toplam simetri sayısı (n dönme + n yansıma) 2n'dir.

Örnek 1. Köşeleri A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3) olan üçgen v = (2, −3) vektörüyle ötelenirse görüntünün köşeleri ne olur?

Çözüm: Her noktaya (2, −3) eklenir: A'(3, −2), B'(6, −2), C'(3, 0). Kenar uzunlukları ve açılar değişmez.

Örnek 2. P(4, 2) noktası M(1, −1) etrafında pozitif yönde 90° döndürülürse görüntüsü nedir?

Çözüm: M'ye göre konum vektörü (4 − 1, 2 + 1) = (3, 3). 90° dönme (x, y) → (−y, x) kuralıyla (−3, 3) olur. Geri öteleme: (−3 + 1, 3 − 1) = (−2, 2).

Örnek 3. A(3, 1) noktasının y = x ve y = −x doğrularına göre yansımalarını bulunuz.

Çözüm: y = x'e göre koordinatlar yer değiştirir: (1, 3). y = −x'e göre koordinatlar yer değiştirip işaret değiştirir: (−1, −3).

Örnek 4. Bir kenarı 6 cm olan kare, merkezi O ve oranı 1/2 olan homotetiyle dönüştürülüyor. Görüntünün alanı kaç cm² olur?

Çözüm: Kenar 6·(1/2) = 3 cm olur; alan 3² = 9 cm². Kısa yol: alan (1/2)² = 1/4 katına iner, 36/4 = 9.