ÖABT İlköğretim Mat. Türev ve Uygulamaları konu anlatımı

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızını ve grafiğinin bir noktadaki teğet eğimini ölçer. Analizin merkezindeki bu kavram; teğet ve normal doğruları, artan-azalan aralıkları, yerel ve mutlak ekstremumları, konkavlık ve büküm noktalarını, L'Hôpital kuralını, optimizasyon ve ilişkili oranlar problemlerini kapsar.

ÖABT İlköğretim Matematik sınavında türev sorularının önemli bölümü işlem odaklıdır: türev alma kuralları, zincir kuralı, kapalı ve parametrik türev, ters fonksiyonun türevi. Uygulama soruları ise ekstremum, büküm noktası, ortalama değer teoremi, maksimum-minimum problemleri ve ilişkili oranlar üzerine yoğunlaşır.

Türevin tanımı ve türevlenebilirlik

• f′(a) = lim_{h→0} (f(a + h) − f(a))/h (limit varsa).
• Türevlenebilir her fonksiyon süreklidir; tersi doğru değildir. |x| fonksiyonu 0'da süreklidir ama türevlenemez (sol türev −1, sağ türev 1).
• Parçalı fonksiyonun birleşim noktasında türevlenebilir olması için önce süreklilik, sonra sağdan ve soldan türevlerin eşitliği gerekir.

Türev alma kuralları

• (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ·ln a, (ln x)′ = 1/x.
• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tan x)′ = 1 + tan²x = sec²x.
• (arcsin x)′ = 1/√(1 − x²), (arctan x)′ = 1/(1 + x²).
• Çarpım: (fg)′ = f′g + fg′. Bölüm: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².

Temel teoremler

Türevin uygulamaları

• f′ > 0 olan aralıkta f artan, f′ < 0 olan aralıkta azalandır.
• Birinci türev testi: f′ işaret değiştirirken + → − ise yerel maksimum, − → + ise yerel minimum vardır.
• İkinci türev testi: f′(c) = 0 ve f″(c) < 0 ise yerel maksimum, f″(c) > 0 ise yerel minimum.
• f″ > 0 ise grafik yukarı konkav (dışbükey), f″ < 0 ise aşağı konkavdır. f″'nin işaret değiştirdiği noktalar büküm noktalarıdır.
• Kapalı aralıkta mutlak ekstremum; kritik noktalar ve uç noktalardaki değerler karşılaştırılarak bulunur.
• Teğet doğrusu: y − f(a) = f′(a)(x − a). Normal doğrusunun eğimi −1/f′(a)'dır.
• Taylor polinomu: f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + …

Örnek 1. y = (x² + 1)³ fonksiyonunun x = 1'deki türevini bulunuz.

Çözüm: Zincir kuralı ile y′ = 3(x² + 1)²·2x = 6x(x² + 1)². x = 1 için y′ = 6·1·4 = 24 bulunur.

Örnek 2. x³ + y³ = 6xy eğrisine (3, 3) noktasında çizilen teğetin eğimini bulunuz.

Çözüm: Nokta eğri üzerindedir: 27 + 27 = 54 = 6·9. Kapalı türev: 3x² + 3y²y′ = 6y + 6xy′. (3, 3) için 27 + 27y′ = 18 + 18y′, buradan 9y′ = −9 ve y′ = −1 bulunur.

Örnek 3. f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki mutlak maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.

Çözüm: f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). Kritik noktalar 1 ve 2'dir. f(0) = 1, f(1) = 2 − 9 + 12 + 1 = 6, f(2) = 16 − 36 + 24 + 1 = 5, f(3) = 54 − 81 + 36 + 1 = 10. Mutlak maksimum 10 (x = 3), mutlak minimum 1 (x = 0) olur. Yerel maksimum x = 1'de, yerel minimum x = 2'de oluşsa da mutlak değerler uç noktalarda gerçekleşmiştir.

Örnek 4. lim_{x→0⁺} x·ln x limitini bulunuz.

Çözüm: 0·(−∞) belirsizliği ln x/(1/x) biçimine dönüştürülür (−∞/∞). L'Hôpital: (1/x)/(−1/x²) = −x → 0. Limit 0'dır.

Örnek 5. Çevresi 20 cm olan dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanını bulunuz.

Çözüm: Kenarlar x ve 10 − x olsun. A(x) = x(10 − x) = 10x − x². A′(x) = 10 − 2x = 0 ise x = 5. A″ = −2 < 0 olduğundan maksimumdur. En büyük alan 25 cm² olur; aranan dikdörtgen karedir.

Örnek 6. Bir kare levhanın kenarı saniyede 0,5 cm artmaktadır. Kenar 8 cm iken alanın artış hızı nedir?

Çözüm: A = a² olduğundan dA/dt = 2a·da/dt = 2·8·0,5 = 8 cm²/s bulunur.