KPSS GY-GK Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler konu anlatımı

Çarpanlara ayırma, bir toplamı çarpım biçiminde yazmaktır. Örneğin 3x + 12 toplamı 3(x + 4) çarpımına, x² − 9 ifadesi ise (x − 3)(x + 3) çarpımına dönüştürülebilir. Özdeşlikler ise değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklerdir; (a + b)² = a² + 2ab + b² bunun en bilinen örneğidir.

KPSS'de bu konu genellikle doğrudan "çarpanlarına ayırınız" biçiminde değil, işlem kolaylığı sağlayan bir araç olarak sorulur: 68² − 32² gibi büyük sayılarla işlem, a + b ile ab verilip a² + b²'nin istenmesi ya da rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi en sık görülen kalıplardır. Bu yüzden özdeşlikleri hem soldan sağa hem de sağdan sola okuyabilmek gerekir.

Temel yöntemler

• Ortak çarpan parantezi: ab + ac = a(b + c). Örnek: 6x² − 9x = 3x(2x − 3).
• Gruplandırma: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y). Terimler, ortak çarpan oluşacak biçimde ikişer ikişer gruplanır.
• x² + bx + c üç terimlisi: Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı (m ve n) bulunur: x² + bx + c = (x + m)(x + n). Örnek: x² − 7x + 12 → çarpımı 12, toplamı −7 olan sayılar −3 ve −4 → (x − 3)(x − 4).

Temel özdeşlikler

• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Tam kare: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Kareler toplamı: a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab.
• Fark bağıntısı: (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
• Küp farkı ve toplamı: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ve a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Ayrıca a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b).
• Ters sayılar: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 ve (x − 1/x)² = x² + 1/x² − 2.
• Üç değişkenli: a² + b² + c² − ab − bc − ac = ½ · [(a − b)² + (b − c)² + (a − c)²].

Sayısal işlemlerde kullanım

• 57² − 43² = (57 − 43)(57 + 43) = 14 · 100 = 1400.
• 999² = (1000 − 1)² = 1 000 000 − 2000 + 1 = 998 001.
• 49² + 2 · 49 · 51 + 51² = (49 + 51)² = 100² = 10 000.

Rasyonel ifadeleri sadeleştirme

• Pay ve payda önce çarpanlarına ayrılır, sonra ortak çarpanlar sadeleştirilir. Toplam hâlindeki terimler sadeleştirilmez: (x + 3)/3 ifadesinde 3'ler sadeleşmez.
• Paydayı sıfır yapan değerler için ifade tanımsızdır; sadeleştirmeden önce bu değerler dışarıda bırakılır.