KPSS GY-GK Üslü ve Köklü Sayılar konu anlatımı

Üslü ve köklü sayılar, KPSS Genel Yetenek matematik testinde her yıl genellikle 1 soru ile doğrudan yer alır. Konunun asıl önemi ise dolaylı etkisidir: çarpanlara ayırma, denklemler ve sayı problemlerinde üs ve kök kurallarını sürekli kullanırsın.

n tane a sayısının çarpımı aⁿ ile gösterilir; a taban, n üs olarak adlandırılır. Örneğin 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81'dir. Köklü sayılar ise üslü sayıların tersidir: √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır (√49 = 7), ∛a ise küpü a olan sayıdır (∛(−8) = −2).

Bu konuda başarının anahtarı üç alışkanlıktır: tabanları eşitlemek, kök içindeki tam kare çarpanları dışarı çıkarmak ve toplama ile çarpma kurallarını birbirine karıştırmamak. Test sorularında üsler 2^(x + 1) biçiminde de yazılır; bu yazım 2ˣ⁺¹ ile aynı anlamdadır.

Üslü sayılar

• Özel durumlar: a¹ = a; a⁰ = 1 (a ≠ 0); 1ⁿ = 1. 0⁰ tanımsızdır.
• Negatif üs: a⁻ⁿ = 1/aⁿ ve (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Negatif üs sonucu negatif yapmaz, tabanı ters çevirir: 2⁻³ = 1/8.
• İşaret: Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−3)² = 9, (−3)³ = −27. Parantez yoksa eksi işareti üsse dâhil değildir: −3² = −9.
• Çarpma: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Bölme: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
• Üssün üssü: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Örnek: (2³)² = 2⁶ = 64.
• Üsleri eşit sayılar: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ ve aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ. Örnek: 4³ · 25³ = 100³ = 10⁶.
• Toplama: Yalnızca taban ve üssü aynı terimler birleşir: 5ˣ + 5ˣ + 5ˣ + 5ˣ + 5ˣ = 5 · 5ˣ = 5ˣ⁺¹. Farklı üslerde ortak çarpan parantezine alınır: 3ˣ⁺² − 3ˣ = 3ˣ(9 − 1) = 8 · 3ˣ.
• Üslü denklemler: Tabanlar eşitlenir, sonra üsler eşitlenir: 4ˣ = 8 → 2²ˣ = 2³ → x = 3/2.
• Basamak sayısı: 2ᵃ · 5ᵇ biçimindeki sayılarda ortak kısım 10'un kuvvetine çevrilir; kalan çarpanın basamak sayısına sıfır sayısı eklenir.

Köklü sayılar

• Tanım: Çift dereceli kökte kök içi negatif olamaz ve √a ≥ 0'dır. √(x²) = |x|.
• Kesirli üs: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ. Örnek: 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8.
• Dışarı çıkarma: √(a² · b) = a√b. Örnek: √72 = √(36 · 2) = 6√2. İçeri alma: 3√5 = √(9 · 5) = √45.
• Çarpma ve bölme: √a · √b = √(ab), √a / √b = √(a/b).
• Toplama ve çıkarma: Yalnızca kök içi aynı olan terimler birleşir: 4√3 + 2√3 = 6√3. √a + √b ≠ √(a + b).
• Paydayı rasyonel yapma: 1/√a = √a/a. Paydada √a − √b varsa eşleniği √a + √b ile genişletilir: (√a − √b)(√a + √b) = a − b.
• İç içe kök: x + y = a ve x · y = b (x > y) ise √(a + 2√b) = √x + √y, √(a − 2√b) = √x − √y.
• Sıralama: Köklü sayılar kök içine alınarak karşılaştırılır: 2√5 = √20 ve 3√2 = √18 olduğundan 3√2 < 2√5.