KPSS GY-GK Kümeler konu anlatımı

Kümeler, KPSS matematik testinde genellikle bir soruyla yer alan, hem kavram bilgisini hem de sözel problem becerisini ölçen bir konudur. Küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur; kümeyi oluşturan nesnelere eleman denir. Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

Sınavda iki tür soruyla karşılaşırsın: küme işlemleri ve alt küme sayısı gibi doğrudan kavram soruları ve "İngilizce bilen, Almanca bilen, ikisini de bilen" gibi durumların Venn şemasıyla çözüldüğü küme problemleri. İkinci türde en güvenli yol, şemayı çizip bölgeleri en içten (kesişimden) başlayarak doldurmaktır.

Gösterimler ve temel kavramlar

• Liste yöntemi: A = {2, 4, 6, 8}. Elemanlar bir kez yazılır, sıra önemli değildir.
• Ortak özellik yöntemi: A = {x | x, 10'dan küçük çift doğal sayı}.
• Venn şeması: Elemanlar kapalı bir eğrinin içinde noktalarla gösterilir.
• Boş küme: Hiç elemanı olmayan küme; ∅ ya da { } ile gösterilir ve her kümenin alt kümesidir.
• Evrensel küme (E): Üzerinde çalışılan bütün elemanları içeren kümedir. A'nın tümleyeni A', E'de olup A'da olmayan elemanlardır: s(A') = s(E) − s(A).

Alt küme

• n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir (kümenin kendisi hariç).
• n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) ile bulunur. Örneğin 6 elemanlı kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı C(6, 3) = 20'dir.
• Belirli k elemanı mutlaka içeren ya da hiç içermeyen alt küme sayısı, kalan n − k elemanın alt küme sayısına eşittir: o elemanların durumu sabitlenir, kalanlar serbesttir. Örneğin 5 elemanlı kümede belirli 2 elemanın durumu sabitse 2³ = 8 alt küme vardır.
• "En az bir … içeren" alt küme sayısı = tüm alt kümeler − hiç içermeyenler.

Küme işlemleri

• Birleşim (A ∪ B): A'da ya da B'de bulunan elemanlar.
• Kesişim (A ∩ B): Hem A'da hem B'de bulunan elemanlar.
• Fark (A − B, A \ B biçiminde de yazılır): A'da olup B'de olmayan elemanlar; s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B).
• De Morgan kuralları: (A ∪ B)' = A' ∩ B' ve (A ∩ B)' = A' ∪ B'.

Eleman sayısı formülleri

• s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B).
• s(A ∪ B) = s(A − B) + s(A ∩ B) + s(B − A).
• Üç küme: s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C).
• Hiçbirinde olmayan = s(E) − s(A ∪ B).
• s(A ∩ B) en fazla küçük kümenin eleman sayısı kadar, en az s(A) + s(B) − s(E) kadar (bu değer negatifse 0) olabilir.