KPSS GY-GK Geometri: Açılar ve Üçgenler konu anlatımı

Açılar ve üçgenler, KPSS geometri sorularının temelidir. Dörtgenler, çokgenler, çember ve analitik geometri sorularının çoğu da sonunda bir üçgene ya da bir açı hesabına dönüşür. KPSS'de geometri soruları genellikle basit ya da orta düzeydedir: Bir şekil sözle ya da çizimle verilir, iki üç temel kural art arda uygulanarak sonuca ulaşılır.

Bu konuda bilinmesi gerekenler dört başlıkta toplanır: açı türleri ve açı ilişkileri (tümler, bütünler, ters açılar), paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu açılar, üçgende açı kuralları (iç açılar toplamı, dış açı özelliği, ikizkenar ve eşkenar üçgen) ve dik üçgen (Pisagor teoremi ve özel dik üçgenler). Bunlara üçgende kenar – açı ilişkisi ve üçgen eşitsizliği eklenir.

Açı türleri ve açı ilişkileri

• Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açı dar açı, 90° olan açı dik açı, 90° ile 180° arasında olan açı geniş açı, 180° olan açı doğru açı, 360° olan açı tam açıdır.
• Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı tümler, 180° olan iki açı bütünler açılardır. x açısının tümleri 90° − x, bütünleri 180° − x'tir.
• İki doğru kesiştiğinde karşılıklı oluşan ters açılar eşittir; yan yana duran komşu açılar ise bütünlerdir.
• Bir nokta etrafındaki açıların toplamı 360°'dir.

Paralel doğrular ve kesen

İki paralel doğruyu üçüncü bir doğru (kesen) kestiğinde sekiz açı oluşur ve bu açılar yalnızca iki farklı ölçü alır: bir dar açı ve onun bütünleri.

• Yöndeş açılar (iki paralelde aynı konumdaki açılar) eşittir.
• İç ters açılar (paralellerin arasında, kesenin farklı taraflarında kalan açılar; "Z" biçimi) eşittir.
• Karşı durumlu iç açılar (paralellerin arasında, kesenin aynı tarafında kalan açılar; "U" biçimi) bütünlerdir: toplamları 180°'dir.

Üçgende açılar

• Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir.
• Bir köşedeki dış açı, o köşeye komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Ayrıca iç açı ile aynı köşedeki dış açı bütünlerdir.
• Üçgenin dış açılarının toplamı 360°'dir.
• İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir. Tepe açısı a ise taban açılarının her biri (180° − a) / 2 olur.
• Eşkenar üçgende üç açı da 60°'dir.
• Açılar belirli sayılarla orantılıysa (örneğin 2, 3, 4) açılar 2k, 3k, 4k yazılır ve 9k = 180° denklemiyle k bulunur.

Kenar – açı ilişkisi ve üçgen eşitsizliği

• Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
• Kenarları a, b, c olan bir üçgende her kenar diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür: |a − b| < c < a + b. Eşitlik durumunda üçgen oluşmaz.

Dik üçgen ve Pisagor teoremi

• Dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, diğer iki kenar dik kenardır. Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise a² + b² = c² olur.
• Sık görülen Pisagor üçlüleri: 3 – 4 – 5, 5 – 12 – 13, 8 – 15 – 17 ve bunların katları (6 – 8 – 10, 9 – 12 – 15, 15 – 20 – 25 gibi).
• 30° – 60° – 90° üçgeni: 30°'nin karşısındaki kenar x ise 60°'nin karşısındaki kenar x√3, hipotenüs 2x'tir.
• 45° – 45° – 90° üçgeni (ikizkenar dik üçgen): Dik kenarlar x ise hipotenüs x√2'dir.
• Kenarı a olan eşkenar üçgenin yüksekliği a√3 / 2'dir; çünkü yükseklik, eşkenar üçgeni iki tane 30° – 60° – 90° üçgenine ayırır.

Üçgenin alanı

• Alan = (taban · o tabana ait yükseklik) / 2.
• Dik üçgende alan = (dik kenarların çarpımı) / 2.
• Aynı alan hipotenüs ve hipotenüse ait yükseklikle de yazılabileceğinden hipotenüse ait yükseklik = (dik kenarların çarpımı) / hipotenüs olur.