KPSS GY-GK Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık konu anlatımı

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık, "kaç farklı şekilde yapılabilir?" ve "bu olayın gerçekleşme ihtimali nedir?" sorularını cevaplayan konulardır. KPSS matematik testinde bu başlıktan çoğunlukla bir soru gelir ve soru genellikle kısa, işlem yükü az ama kavram hatasına açık bir kurguyla sorulur.

Konunun temelinde sayma vardır. Önce toplama ve çarpma kurallarıyla basit seçimler sayılır. Ardından şu soru sorulur: Sıralama önemli mi? Sıralama önemliyse (başkan – yardımcı, rafta dizilen kitaplar, sayı yazma) permütasyon; sıralama önemsizse (komisyon, takım, alt küme) kombinasyon kullanılır. Olasılık ise istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına oranıdır; yani olasılık sorularının neredeyse tamamı aslında iki sayma işleminden oluşur.

Temel sayma kuralları

• Çarpma kuralı: Bir iş art arda yapılan adımlardan oluşuyorsa ("ve" bağlacı) her adımdaki seçenek sayıları çarpılır. 4 gömlek ve 3 pantolondan birer tane seçmenin yolu 4 · 3 = 12'dir.
• Toplama kuralı: Seçimler birbirinin alternatifiyse ("ya da" bağlacı) seçenek sayıları toplanır. 4 roman ya da 3 hikâye kitabından bir tane seçmenin yolu 4 + 3 = 7'dir.

Faktöriyel

• n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1. Ayrıca 0! = 1 ve 1! = 1 kabul edilir.
• Sık kullanılan değerler: 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.
• Sadeleştirme için faktöriyeli açarak yaz: 7! / 5! = 7 · 6 = 42.

Permütasyon (sıralama önemli)

• n farklı nesne n! farklı biçimde sıralanır.
• n farklı nesneden r tanesinin sıralanışı: P(n, r) = n! / (n − r)!; yani n'den başlayarak geriye doğru r tane sayının çarpımı. P(6, 2) = 6 · 5 = 30.
• Tekrarlı permütasyon: Aynı nesneler varsa toplam sıralama sayısı, tekrar eden nesnelerin faktöriyellerine bölünür: n! / (a! · b! · …).
• Dairesel permütasyon: n farklı kişi yuvarlak bir masaya (n − 1)! farklı şekilde oturur; çünkü herkesin bir kaydırılması aynı düzeni verir.
• Yan yana olma koşulu: Yan yana olması istenen kişiler tek bir blok gibi düşünülür; blok diğerleriyle birlikte sıralanır, sonra blok içindeki sıralama sayısıyla çarpılır.
• Rakamlarla sayı yazma: Basamaklar soldan sağa doldurulur; en soldaki basamağa 0 gelemez. "Rakamları farklı" ifadesi, kullanılan rakamın tekrar kullanılamayacağını anlatır.

Kombinasyon (sıralama önemsiz)

• n farklı nesneden r tanesinin seçimi: C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!).
• Kolay hesap: C(n, r) = P(n, r) / r!. Örneğin C(7, 3) = (7 · 6 · 5) / (3 · 2 · 1) = 35.
• Özellikler: C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = n ve C(n, r) = C(n, n − r). Bu son özellik C(10, 8) gibi değerleri C(10, 2) = 45 olarak hesaplamayı sağlar.
• C(n, 2) = n · (n − 1) / 2 ifadesi; tokalaşma sayısı, iki kişilik grup sayısı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n noktadan geçen doğru sayısı sorularında doğrudan kullanılır.
• Farklı gruplardan seçim yapılıyorsa her gruptaki kombinasyonlar çarpılır.

Olasılık

• Bir A olayının olasılığı: P(A) = istenen durum sayısı / tüm durumların sayısı.
• Her olasılık 0 ile 1 arasındadır: 0 ≤ P(A) ≤ 1. İmkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1'dir.
• Tümleyen kuralı: P(A olmaması) = 1 − P(A). "En az bir" içeren sorularda hiç olmama olasılığını bulup 1'den çıkarmak en hızlı yoldur.
• Bağımsız olaylar (iki zar, bir zar ve bir para, geri koyarak çekiş) için olasılıklar çarpılır.
• Temel örnek uzayları: bir zar 6, iki zar 6 · 6 = 36, bir para 2, üç para 2 · 2 · 2 = 8 sonuç verir.
• Torbadan aynı anda birden fazla top çekiliyorsa tüm durumlar kombinasyonla sayılır: 10 toptan 2 top C(10, 2) = 45 farklı şekilde çekilir.