ÖABT Lise Mat. Analitik Geometri konu anlatımı

Analitik geometri, geometrik nesneleri koordinatlar ve denklemler aracılığıyla inceler. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konudan gelen sorular üç ana başlıkta toplanır: uzayda doğru ve düzlem (denklemler, açı, uzaklık, kesişim, simetri), konikler (çember, elips, hiperbol, parabol ve genel ikinci derece denklemin sınıflandırılması) ve kutupsal koordinatlar (dönüşüm formülleri, kutupsal eğriler ve alan). Sorular çoğunlukla vektör işlemleri (iç çarpım, vektörel çarpım) ile hızlıca çözülebilecek şekilde kurgulanır.

Uzayda temel vektör işlemleri

• İki nokta arası uzaklık: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
• İç çarpım: u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u||v| cos θ; u ⊥ v ⇔ u·v = 0
• Vektörel çarpım: u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁); u × v hem u'ya hem v'ye diktir.
• |u × v| = u ve v'nin oluşturduğu paralelkenarın alanı; üçgen alanı bunun yarısıdır.
• Karma çarpım |u·(v × w)| = paralelyüzün hacmi.

Uzayda doğru

A(x₀, y₀, z₀) noktasından geçen ve doğrultmanı u = (a, b, c) olan doğru:

• Parametrik: (x, y, z) = (x₀ + at, y₀ + bt, z₀ + ct)
• Simetrik (kanonik): (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c

İki doğru paralel, kesişen veya aykırı (ne paralel ne kesişen) olabilir. Aykırı doğrular arası uzaklık: d = |PQ·(u₁ × u₂)| / |u₁ × u₂| (P ve Q doğrular üzerindeki birer nokta).

Uzayda düzlem

Normal vektörü n = (a, b, c) olan düzlem: ax + by + cz + d = 0.

• Eksenleri (p, 0, 0), (0, q, 0), (0, 0, r) noktalarında kesen düzlem: x/p + y/q + z/r = 1.
• Noktanın düzleme uzaklığı: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²).
• İki düzlem arasındaki açı normaller arasındaki (dar) açıdır: cos θ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|).
• İki düzlemin arakesit doğrusunun doğrultmanı n₁ × n₂'dir.
• Doğru ile düzlemin kesişimi: Doğrunun parametrik ifadesi düzlem denkleminde yerine yazılıp t bulunur.
• P noktasının düzleme göre simetriği: Dikme ayağı H bulunur, P' = 2H − P.

Konikler

Çember: (x − a)² + (y − b)² = r². Genel biçim x² + y² + Dx + Ey + F = 0 için merkez (−D/2, −E/2), r² = (D² + E² − 4F)/4.

Elips: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0). c² = a² − b², odaklar (±c, 0), dış merkezlik e = c/a < 1. (x₀, y₀) noktasındaki teğet: x₀x/a² + y₀y/b² = 1.

Hiperbol: x²/a² − y²/b² = 1. c² = a² + b², e = c/a > 1, asimptotlar y = ±(b/a)x.

Parabol: y² = 4px. Odak (p, 0), doğrultman x = −p, e = 1. x² = 4py için odak (0, p).

Genel ikinci derece denklem Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (dejenere olmayan durumda) için Δ = B² − 4AC:

• Δ < 0 ⇒ elips (A = C ve B = 0 ise çember)
• Δ = 0 ⇒ parabol
• Δ > 0 ⇒ hiperbol

Merkez ve eksen uzunlukları tam kareye tamamlama ile bulunur.

Kutupsal koordinatlar

• x = r cos θ, y = r sin θ; r² = x² + y², tan θ = y/x.
• r = 2a cos θ ⇒ x² + y² = 2ax (merkezi (a, 0), yarıçapı |a| olan çember); r = 2a sin θ ⇒ merkezi (0, a).
• Odağı kutupta olan konik: r = ed / (1 + e cos θ). e < 1 elips, e = 1 parabol, e > 1 hiperbol. Denklem bu biçime getirilirken paydadaki sabit 1 yapılmalıdır.
• Kutupsal alan: A = ½ ∫ r² dθ. Kardioid r = a(1 + cos θ) için alan 3πa²/2.

Örnek 1. P(2, −1, 3) noktasının 2x + y − 2z + 4 = 0 düzlemine uzaklığını bulunuz.

Çözüm: d = |2·2 + (−1) − 2·3 + 4| / √(4 + 1 + 4) = |4 − 1 − 6 + 4| / 3 = 1/3.

Örnek 2. 9x² + 4y² − 18x + 16y − 11 = 0 eğrisinin türünü ve merkezini bulunuz.

Çözüm: 9(x² − 2x) + 4(y² + 4y) = 11 ⇒ 9(x − 1)² − 9 + 4(y + 2)² − 16 = 11 ⇒ 9(x − 1)² + 4(y + 2)² = 36 ⇒ (x − 1)²/4 + (y + 2)²/9 = 1. Merkezi (1, −2) olan, büyük ekseni y eksenine paralel bir elipstir (a = 3, b = 2, c = √5).

Örnek 3. r = 6 sin θ kutupsal eğrisinin Kartezyen denklemini yazınız.

Çözüm: Her iki taraf r ile çarpılır: r² = 6r sin θ ⇒ x² + y² = 6y ⇒ x² + (y − 3)² = 9. Merkezi (0, 3), yarıçapı 3 olan çember.

Örnek 4. A(1, 1, 0), B(3, 1, 0), C(1, 4, 0) üçgeninin alanını vektörel çarpımla bulunuz.

Çözüm: AB = (2, 0, 0), AC = (0, 3, 0); AB × AC = (0, 0, 6), |AB × AC| = 6. Alan = 6/2 = 3.