ÖABT Lise Mat. Reel Analiz ve Topolojiye Giriş konu anlatımı

Reel analiz, lise ve lisans düzeyinde "sezgisel olarak" kullanılan limit, süreklilik ve yakınsama kavramlarını reel sayıların tamlık aksiyomu üzerine kesin biçimde kurar. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konu; süpremum ve infimum, Arşimet özelliği, dizilerde lim sup / lim inf, Bolzano–Weierstrass ve Cauchy dizileri, ℝ'de ve metrik uzaylarda açık ve kapalı kümeler, iç, kapanış, sınır ve yığılma noktaları, kompaktlık (Heine–Borel), bağlantılılık ve düzgün süreklilik başlıklarında sorulur. Sorular genellikle bir kümenin topolojik özelliklerini belirleme, bir tanımı doğrudan uygulama ya da "hangisi her zaman doğrudur?" tipinde öncüllü yargıları değerlendirme biçimindedir.

Süpremum, infimum ve tamlık

• A ⊂ ℝ boş olmayan bir küme olsun. Her a ∈ A için a ≤ M ise M, A'nın bir üst sınırıdır. En küçük üst sınıra süpremum (sup A) denir.
• s = sup A olması için gerek ve yeter koşul: (i) her a ∈ A için a ≤ s, (ii) her ε > 0 için s − ε < a koşulunu sağlayan bir a ∈ A vardır.
• Tamlık aksiyomu: ℝ'de üstten sınırlı ve boş olmayan her kümenin süpremumu vardır. ℚ bu özelliği taşımaz: {x ∈ ℚ : x² < 2} kümesinin ℚ içinde süpremumu yoktur, ℝ'deki süpremumu √2'dir.
• sup A ∈ A ise sup A aynı zamanda max A'dır; aksi hâlde küme maksimuma sahip değildir.
• Arşimet özelliği: Her x ∈ ℝ için n > x olacak biçimde bir n ∈ ℕ vardır. Sonuç: inf{1/n : n ∈ ℤ⁺} = 0 ve ℚ, ℝ'de yoğundur.

Diziler

• lim sup aₙ, dizinin alt dizi limitlerinin en büyüğü; lim inf aₙ en küçüğüdür. Dizi yakınsaktır ⇔ lim sup = lim inf (ve sonludur).

Metrik uzay ve topolojik kavramlar

• d: X × X → ℝ bir metriktir ⇔ d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, d(x, y) = d(y, x) ve üçgen eşitsizliği d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) sağlanır.
• Açık yuvar: B(x, r) = {y : d(x, y) < r}. U kümesi açıktır ⇔ her x ∈ U için B(x, r) ⊂ U olacak bir r > 0 vardır.
• F kapalıdır ⇔ tümleyeni açıktır ⇔ F, bütün yığılma noktalarını içerir.

• Açık kümelerin keyfî birleşimi ve sonlu kesişimi açıktır; kapalı kümelerin keyfî kesişimi ve sonlu birleşimi kapalıdır. ⋂ (−1/n, 1/n) = {0} açık değildir.
• Her zaman cl(A ∪ B) = cl A ∪ cl B ve int(A ∩ B) = int A ∩ int B; ancak cl(A ∩ B) ⊂ cl A ∩ cl B ve int A ∪ int B ⊂ int(A ∪ B) yalnızca kapsamadır.

Kompaktlık ve bağlantılılık

• K kompakttır ⇔ K'nın her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır.
• Heine–Borel: ℝⁿ'de K kompakttır ⇔ K kapalı ve sınırlıdır.
• Metrik uzaylarda kompaktlık ⇔ dizisel kompaktlık (her dizinin K içinde yakınsayan bir alt dizisi vardır).
• Sürekli fonksiyon altında kompakt kümenin görüntüsü kompakt, bağlantılı kümenin görüntüsü bağlantılıdır. Sonuç: [a, b] üzerinde sürekli fonksiyon maksimum ve minimumuna ulaşır; ara değer teoremi geçerlidir.
• ℝ'nin bağlantılı alt kümeleri tam olarak aralıklardır.

Düzgün süreklilik

• f, A üzerinde düzgün süreklidir ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0: x, y ∈ A, |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε (δ, x'e bağlı değildir).
• Heine–Cantor: Kompakt küme üzerinde sürekli fonksiyon düzgün süreklidir.
• Lipschitz koşulu |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y| düzgün sürekliliği gerektirir (δ = ε/L).

Örnek 1. A = {1 − 1/n : n ∈ ℤ⁺} kümesinin süpremum, infimum, maksimum ve minimumunu bulunuz.

Çözüm: Elemanlar 0, 1/2, 2/3, 3/4, … biçimindedir ve dizi artandır. En küçük eleman n = 1 için 0'dır; dolayısıyla inf A = min A = 0. Her eleman 1'den küçüktür, yani 1 bir üst sınırdır. ε > 0 verilsin; Arşimet özelliğiyle 1/n < ε olacak n seçilirse 1 − 1/n > 1 − ε olur. Böylece sup A = 1'dir. 1 ∉ A olduğundan A'nın maksimumu yoktur.

Örnek 2. ℝ'de A = (0, 1) ∪ {2} kümesinin içini, kapanışını, yığılma noktalarını ve sınırını bulunuz.

Çözüm: (0, 1) açıktır ve A'nın içindedir; 2 noktasının hiçbir komşuluğu A'ya dahil değildir. Dolayısıyla int A = (0, 1). Yığılma noktaları: (0, 1)'in her noktası ile 0 ve 1; 2 ise yalıtılmış noktadır. A′ = [0, 1]. Kapanış cl A = A ∪ A′ = [0, 1] ∪ {2}. Sınır ∂A = cl A ∖ int A = {0, 1, 2}.

Örnek 3. f(x) = x² fonksiyonunun [0, 2] aralığında düzgün sürekli olduğunu ε-δ tanımıyla gösteriniz.

Çözüm: x, y ∈ [0, 2] için |x² − y²| = |x − y|·|x + y| ≤ 4|x − y| olur. ε > 0 verildiğinde δ = ε/4 seçilirse |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < 4·(ε/4) = ε elde edilir. δ yalnızca ε'a bağlıdır; f düzgün süreklidir. (Aynı fonksiyon ℝ üzerinde düzgün sürekli değildir: xₙ = n, yₙ = n + 1/n için |xₙ − yₙ| → 0 iken |f(xₙ) − f(yₙ)| = 2 + 1/n² ≥ 2.)

Örnek 4. ℚ ∩ [0, 1] kümesinin kompakt olmadığını gösteriniz.

Çözüm: Heine–Borel'e göre ℝ'de kompaktlık, kapalı ve sınırlı olmaya denktir. Küme sınırlıdır; ancak √2/2 sayısına yakınsayan rasyonel terimli bir (qₙ) dizisi [0, 1] içinde seçilebilir (ℚ'nun yoğunluğu). Limit √2/2 rasyonel olmadığından kümeye ait değildir; küme kapalı değildir, dolayısıyla kompakt değildir.

Örnek 5. aₙ = (−1)ⁿ(1 + 1/n) dizisi için lim sup aₙ ve lim inf aₙ değerlerini bulunuz.

Çözüm: Çift indisli alt dizi a₂ₖ = 1 + 1/(2k) → 1; tek indisli alt dizi a₂ₖ₋₁ = −(1 + 1/(2k − 1)) → −1. Başka alt dizi limiti yoktur. lim sup aₙ = 1, lim inf aₙ = −1. İkisi farklı olduğundan dizi ıraksaktır; fakat sup{aₙ} = a₂ = 3/2 ve inf{aₙ} = a₁ = −2'dir. Süpremum ile lim sup'ın farklı kavramlar olduğuna dikkat ediniz.