ÖABT Lise Mat. Diferansiyel Geometri konu anlatımı

Diferansiyel geometri, eğri ve yüzeylerin şekillerini türev ve integral araçlarıyla inceler. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konudan gelen sorular ağırlıklı olarak uzay eğrilerinin temel kavramlarına odaklanır: yay uzunluğu, birim hızlı (yay uzunluğu ile) parametrelendirme, Frenet çatısı (T, N, B), eğrilik (κ) ve burulma (τ), Frenet–Serret formülleri, oskülatör/normal/doğrultucu düzlemler ve helis gibi özel eğriler. Yüzeyler için ise Gauss eğriliği gibi temel bilgiler yeterlidir.

Parametrik eğri, hız, yay uzunluğu

α: I → ℝ³, α(t) = (x(t), y(t), z(t)) diferansiyellenebilir bir eğridir.

• Hız vektörü: α'(t), hız (sürat) |α'(t)|.
• α'(t) ≠ 0 her t için sağlanıyorsa eğri regülerdir.
• Yay uzunluğu: L = ∫ |α'(t)| dt (t = a'dan b'ye).
• |α'(s)| = 1 ise eğri birim hızlıdır (yay uzunluğu ile parametrelendirilmiştir). Regüler her eğri s(t) = ∫|α'(u)|du dönüşümüyle birim hızlı hâle getirilebilir.

Frenet çatısı

Birim hızlı α(s) eğrisi için:

• {T, N, B} her noktada sağ elli, ortonormal bir çatıdır.

Frenet–Serret formülleri:

• T' = κN
• N' = −κT + τB
• B' = −τN

Burada τ **burulma (torsiyon)**dur. Katsayı matrisi ters simetriktir. Darboux vektörü W = τT + κB için T' = W × T, N' = W × N, B' = W × B ve |W| = √(κ² + τ²).

Keyfi parametreli eğrilerde formüller

α(t) birim hızlı olmasa da:

• κ = |α' × α''| / |α'|³
• τ = (α' × α'')·α''' / |α' × α''|²
• T = α'/|α'|, B = (α' × α'')/|α' × α''|, N = B × T

Düzlem eğrisi y = f(x) için κ = |f''(x)| / (1 + f'(x)²)^(3/2). Parametrik düzlem eğrisi (x(t), y(t)) için κ = |x'y'' − y'x''| / (x'² + y'²)^(3/2). Eğrilik yarıçapı ρ = 1/κ'dır.

Düzlemler

Bir noktada:

Özel eğriler ve temel sonuçlar

• κ ≡ 0 ⇔ eğri bir doğrudur (ya da doğru parçası).
• κ > 0 iken τ ≡ 0 ⇔ eğri düzlemseldir.
• κ sabit (> 0) ve τ ≡ 0 ⇔ eğri, yarıçapı 1/κ olan bir çember (yayı)dır.
• Dairesel helis: α(t) = (a cos t, a sin t, bt): κ = a/(a² + b²), τ = b/(a² + b²); ikisi de sabittir.
• Lancret teoremi: Bir eğri genel helistir (eğilim çizgisi) ⇔ τ/κ oranı sabittir.
• Çemberin eğriliği 1/r'dir; elipsin tepe noktalarındaki eğrilik yarıçapları b²/a ve a²/b'dir.

Yüzeyler (temel)

Yarıçapı R olan kürenin her noktasında Gauss eğriliği K = 1/R², ortalama eğrilik H = 1/R'dir (yön seçimine göre işaret değişebilir). Düzlem ve silindirde K = 0'dır.

Örnek 1. α(t) = (3 cos t, 3 sin t, 4t) helisinin eğrilik ve burulmasını bulunuz.

Çözüm: a = 3, b = 4, a² + b² = 25. κ = 3/25, τ = 4/25. Hız |α'| = √(9 + 16) = 5 olduğundan birim hızlı parametre s = 5t'dir.

Örnek 2. y = x³ eğrisinin x = 1 noktasındaki eğriliğini bulunuz.

Çözüm: f' = 3x² = 3, f'' = 6x = 6. κ = 6 / (1 + 9)^(3/2) = 6 / (10√10) = 3/(5√10) = 3√10/50.

Örnek 3. α(t) = (t, t², t³) eğrisinin t = 1 noktasındaki eğriliğini bulunuz.

Çözüm: α' = (1, 2, 3), α'' = (0, 2, 6). α' × α'' = (2·6 − 3·2, 3·0 − 1·6, 1·2 − 2·0) = (6, −6, 2), |α' × α''| = √76 = 2√19. |α'| = √14. κ = 2√19 / (14√14) = √19/(7√14).

Örnek 4. Birim hızlı bir eğride κ = 3 ve τ = 4 sabitse B' vektörünün uzunluğunu bulunuz.

Çözüm: B' = −τN ve |N| = 1 olduğundan |B'| = τ = 4. (Eğriliğin bu hesapla ilgisi yoktur.)