ÖABT Lise Mat. Türev ve Uygulamaları konu anlatımı

Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızını ölçer ve analizin en çok uygulanan aracıdır. ÖABT Lise Matematik sınavında türev; yalnızca türev alma kurallarıyla sınırlı kalmaz. Kapalı ve parametrik türev, ters fonksiyonun türevi, yüksek mertebeden türev ve Leibniz formülü, Rolle ve ortalama değer teoremleri, L'Hôpital kuralı, Taylor polinomları, ekstremum ve büküm analizi, optimizasyon, ilişkili oranlar ve Newton yöntemi gibi lisans düzeyindeki başlıklar sorulur. Soruların önemli bir kısmı, bir teoremin hipotezlerinin sağlanıp sağlanmadığını ya da bir fonksiyonun grafiğinin niteliksel özelliklerini sınar.

Tanım ve türevlenebilirlik

• f'(a) = lim h→0 [f(a + h) − f(a)] / h (limit varsa).
• Türevlenebilen fonksiyon süreklidir; tersi doğru değildir (|x|, x = 0'da sürekli ama türevsizdir).
• Parçalı fonksiyonlarda türevlenebilirlik için hem süreklilik hem de sağ ve sol türevlerin eşitliği gerekir.
• f(x) = x² sin(1/x) (x ≠ 0), f(0) = 0 fonksiyonu 0'da türevlenebilir fakat f' bu noktada sürekli değildir.

Türev alma teknikleri

Temel teoremler

Uygulamalar

Örnek 1. x = t² + 1, y = t³ − 3t parametrik eğrisi için t = 2 noktasında d²y/dx² değerini bulunuz.

Çözüm: dy/dx = (3t² − 3) / (2t). Bu ifadenin t'ye göre türevi [6t · 2t − (3t² − 3) · 2] / (4t²) = (6t² + 6) / (4t²) = (3t² + 3) / (2t²) olur. Bunu x'(t) = 2t'ye bölersek d²y/dx² = (3t² + 3) / (4t³) elde edilir. t = 2 için (12 + 3) / 32 = 15/32 bulunur.

Örnek 2. f(x) = x³ + 2x + 1 için (f⁻¹)'(4) değerini bulunuz.

Çözüm: f'(x) = 3x² + 2 > 0 olduğundan f birebirdir. f(1) = 1 + 2 + 1 = 4 olduğundan f⁻¹(4) = 1'dir. f'(1) = 5 olduğundan (f⁻¹)'(4) = 1/5 olur.

Örnek 3. lim x→0 (tan x − x) / (x − sin x) limitini hesaplayınız.

Çözüm: Taylor açılımlarından tan x − x = x³/3 + … ve x − sin x = x³/6 + … yazılır. Oran (x³/3) / (x³/6) = 2'ye gider. L'Hôpital kuralı üç kez uygulanarak da aynı sonuç bulunur.

Örnek 4. f(x) = x³ fonksiyonu için [0, 3] aralığında ortalama değer teoremini sağlayan c değerini bulunuz.

Çözüm: [f(3) − f(0)] / (3 − 0) = 27/3 = 9. f'(c) = 3c² = 9 ⇒ c² = 3 ⇒ c = √3 (c ∈ (0, 3) olduğundan negatif kök alınmaz).

Örnek 5. Yarıçapı R olan bir küre içine çizilen en büyük hacimli dik dairesel silindirin hacmini bulunuz.

Çözüm: Silindirin yüksekliği h, taban yarıçapı r ise r² = R² − h²/4 olur. V(h) = π(R² − h²/4)h = π(R²h − h³/4). V'(h) = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h = 2R/√3. V''(h) = −3πh/2 < 0 olduğundan bu değer maksimum verir. r² = R² − R²/3 = 2R²/3 ve V = π · (2R²/3) · (2R/√3) = 4πR³ / (3√3) bulunur.

Örnek 6. x⁵ − 5x + 1 = 0 denkleminin kaç reel kökü vardır?

Çözüm: f'(x) = 5x⁴ − 5 = 0 ⇒ x = ±1. f(−1) = 5 > 0 ve f(1) = −3 < 0'dır. x → −∞ iken f → −∞, x → +∞ iken f → +∞. Ara değer teoremine göre (−∞, −1), (−1, 1) ve (1, ∞) aralıklarının her birinde birer kök vardır; f bu aralıklarda monoton olduğundan her aralıkta tam bir kök bulunur. Toplam 3 reel kök vardır.