ÖABT Lise Mat. Düzlem ve Uzay Geometrisi konu anlatımı

Düzlem ve uzay geometrisi, ÖABT Lise Matematik sınavında hem alan bilgisi hem de lise müfredatına hâkimiyet açısından önemlidir. Sorular, lise düzeyindeki temel bilgilerin üzerine ileri seviye teoremleri (Ceva, Menelaus, Stewart, Ptolemaios, açıortay ve kenarortay teoremleri, noktanın çembere göre kuvveti), katı cisimlerin alan ve hacimlerini (prizma, piramit, koni, kesik koni, küre, küre parçası, düzgün çokyüzlüler) ve kesit alanlarını (küre, küp, piramit kesitleri; Cavalieri ilkesi, Pappus–Guldinus teoremleri) birleştirir.

Çokgenler

• n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı (n − 2)·180°; düzgün çokgende bir iç açı (n − 2)·180°/n, bir dış açı 360°/n.
• Köşegen sayısı n(n − 3)/2.

Üçgende ileri teoremler

• İç teğet çember yarıçapı r = Alan/u; çevrel çember yarıçapı R = abc/(4·Alan).
• Sinüs teoremi: a/sin A = 2R. Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc cos A.

Çember teoremleri

• Noktanın kuvveti: P noktasından çizilen bir kesen çemberi A ve B'de keserse PA·PB sabittir; P dışarıdaysa PA·PB = PT² (PT teğet uzunluğu).
• İç kesişen kirişlerde AP·PB = CP·PD.
• Ptolemaios teoremi: ABCD kirişler dörtgeni ⇔ AC·BD = AB·CD + BC·AD.
• Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir; alanı Brahmagupta formülüyle √((u − a)(u − b)(u − c)(u − d)) bulunur.

Katı cisimler

• Küp: köşegen a√3, yüz köşegeni a√2.
• Düzgün dörtyüzlüde iki yüz arasındaki açı arccos(1/3); iç teğet küre yarıçapı a√6/12, çevrel küre yarıçapı a√6/4.
• Euler formülü: (konveks çokyüzlü): K − A + Y = 2 (köşe − ayrıt + yüz). Beş düzgün çokyüzlü: dörtyüzlü, küp, sekizyüzlü, onikiyüzlü, yirmiyüzlü.

Kesitler ve benzerlik

• Piramit veya koni tabana paralel bir düzlemle tepeden k oranında (tepeye uzaklık/yükseklik) kesilirse kesit alanı k², küçük cismin hacmi k³ oranında olur.
• Yarıçapı R olan küre merkezden d uzaklıktaki düzlemle kesilirse kesit, yarıçapı √(R² − d²) olan çemberdir.
• Küp, bir cisim köşegenine dik ve merkezden geçen düzlemle kesilirse kesit, kenarı a√2/2 olan düzgün altıgendir.
• Cavalieri ilkesi: Aynı yükseklikteki her düzlemde kesit alanları eşit olan iki cismin hacimleri eşittir.
• Pappus–Guldinus: Düzlemsel bir bölge, kendisini kesmeyen bir eksen etrafında döndürülürse hacim = Alan × 2π·(ağırlık merkezinin eksene uzaklığı).

Örnek 1. Kenarları 5, 7, 8 olan üçgenin alanını ve iç teğet çember yarıçapını bulunuz.

Çözüm: u = 10. Alan = √(10·5·3·2) = √300 = 10√3. r = Alan/u = 10√3/10 = √3.

Örnek 2. Bir çemberin dışındaki P noktasından çizilen kesen çemberi A ve B'de kesiyor; PA = 3, AB = 9. P'den çizilen teğet uzunluğu kaçtır?

Çözüm: PB = PA + AB = 12. PT² = PA·PB = 3·12 = 36 ⇒ PT = 6.

Örnek 3. Taban yarıçapı 6, yüksekliği 8 olan dik koninin içine çizilebilen en büyük kürenin yarıçapını bulunuz.

Çözüm: Eksenden geçen kesit, kenarları 10, 10, 12 olan ikizkenar üçgendir. Alanı ½·12·8 = 48, yarı çevresi 16. İç teğet yarıçap r = 48/16 = 3.

Örnek 4. Yarıçapı 2 olan bir daire, merkezine uzaklığı 4 olan bir eksen etrafında döndürülüyor. Oluşan simit (torus) cisminin hacmini bulunuz.

Çözüm: Pappus–Guldinus: V = Alan × 2π·d = (π·4)·(2π·4) = 32π².