ÖABT Lise Mat. Limit ve Süreklilik konu anlatımı

Limit, analizin temel kavramıdır; türev, integral ve seriler limit üzerine kurulur. ÖABT Lise Matematik sınavında limit ve süreklilik; ε-δ tanımı, belirsizlik durumlarının (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰) çözümü, özel limitler, sıkıştırma teoremi, dizisel (Heine) karakterizasyon, süreksizlik türleri, ara değer ve ekstremum değer teoremleri ile düzgün süreklilik başlıklarında sorulur. Lisans düzeyinde, yalnızca limiti hesaplamak değil, bir δ'nın neden uygun olduğunu göstermek ve teoremlerin hipotezlerini tanımak da beklenir.

Limitin ε-δ tanımı

• lim x→a f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.
• Doğrusal f(x) = mx + n (m ≠ 0) için δ = ε / |m| yeterlidir.
• Doğrusal olmayan fonksiyonlarda önce δ ≤ 1 gibi bir kısıt konup çarpan sınırlandırılır. Örneğin |x² − a²| = |x − a|·|x + a| ve |x − a| < 1 iken |x + a| < 2|a| + 1 olduğundan δ = min{1, ε/(2|a| + 1)} seçilir.
• Dizisel karakterizasyon (Heine): lim x→a f(x) = L ⇔ a'ya yakınsayan (terimleri a'dan farklı) her (xₙ) dizisi için f(xₙ) → L. İki farklı dizi için farklı limit bulunursa limit yoktur (örneğin sin(1/x), x → 0).

Limit hesaplama araçları

Süreklilik

• f, a'da sürekli ⇔ lim x→a f(x) = f(a) (limit var, değer tanımlı, ikisi eşit).

Örnek 1. lim x→2 (3x − 1) = 5 olduğunu ε-δ tanımıyla gösteriniz.

Çözüm: |(3x − 1) − 5| = |3x − 6| = 3|x − 2|. Bu ifadenin ε'dan küçük olması için |x − 2| < ε/3 yeterlidir. δ = ε/3 seçilirse 0 < |x − 2| < δ ⇒ |f(x) − 5| < 3δ = ε olur.

Örnek 2. lim x→2 x² = 4 için uygun bir δ bulunuz.

Çözüm: |x² − 4| = |x − 2|·|x + 2|. δ ≤ 1 alınırsa 1 < x < 3, dolayısıyla |x + 2| < 5 olur. Bu durumda |x² − 4| < 5|x − 2|. δ = min{1, ε/5} seçilirse 0 < |x − 2| < δ ⇒ |x² − 4| < 5 · ε/5 = ε.

Örnek 3. lim x→0 (1 − cos 3x) / x² limitini hesaplayınız.

Çözüm: 1 − cos 3x = 2 sin²(3x/2) olduğundan ifade 2 · [sin(3x/2) / x]² biçimini alır. sin(3x/2) / x → 3/2 olduğundan limit 2 · (3/2)² = 9/2 bulunur.

Örnek 4. lim x→∞ (1 + 3/x)^(2x) limitini hesaplayınız.

Çözüm: 1^∞ belirsizliği vardır. lim 2x · (3/x) = 6 olduğundan limit e⁶'dır. (Genel kural: (1 + a/x)^(bx) → e^(ab).)