ÖABT Lise Mat. Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Katlı İntegraller konu anlatımı

Çok değişkenli analiz, tek değişkenli kalkülüsün kavramlarını ℝ² ve ℝ³'te tanımlı fonksiyonlara genişletir. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konu; iki değişkenli fonksiyonlarda limit ve süreklilik, kısmi türevler ve Clairaut (Schwarz) teoremi, gradyan ve yönlü türev, çok değişkenli zincir kuralı, kapalı fonksiyon türevi, teğet düzlem, Hessian ile ekstremum sınıflandırması, Lagrange çarpanları, iki ve üç katlı integraller, integrasyon sırasının değiştirilmesi, kutupsal, silindirik ve küresel koordinatlar ile Jacobian yardımıyla değişken dönüşümü başlıkları üzerinden sorulur. Hacim, kütle ve ağırlık merkezi hesapları en sık görülen uygulamalardır.

Limit, süreklilik ve kısmi türev

• lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = L olması için noktaya her yoldan yaklaşıldığında aynı değer elde edilmelidir. İki farklı yolda farklı değer çıkıyorsa limit yoktur.
• Sıkıştırma: |f(x, y) − L| ≤ g(r) ve g(r) → 0 ise limit L'dir (r = √(x² + y²)).
• fₓ = ∂f/∂x, y sabit tutularak alınan türevdir. Clairaut: fₓᵧ ve fᵧₓ sürekli ise fₓᵧ = fᵧₓ.
• Kısmi türevlerin var olması sürekliliği garanti etmez; kısmi türevler sürekli ise f türevlenebilirdir.

Gradyan, yönlü türev ve zincir kuralı

• ∇f = (fₓ, fᵧ, f_z). Birim vektör u yönündeki yönlü türev Dᵤf = ∇f · u'dur.
• Yönlü türevin en büyük değeri |∇f|'dir ve ∇f yönünde elde edilir. ∇f, seviye eğrisine/yüzeyine diktir.

Ekstremum

• Kritik nokta: fₓ = fᵧ = 0. İkinci türev testi: D = fₓₓ fᵧᵧ − (fₓᵧ)².
• D > 0 ve fₓₓ > 0 ⇒ yerel minimum; D > 0 ve fₓₓ < 0 ⇒ yerel maksimum; D < 0 ⇒ eyer noktası; D = 0 ⇒ test sonuç vermez.
• Lagrange çarpanları: g(x, y) = c kısıtı altında ekstremumlar ∇f = λ∇g denkleminden bulunur.

Katlı integraller

Örnek 1. lim (x, y)→(0, 0) xy / (x² + y²) limitini inceleyiniz.

Çözüm: y = mx doğruları boyunca ifade m x² / ((1 + m²)x²) = m/(1 + m²) olur. Bu değer m'ye bağlıdır (m = 0 için 0, m = 1 için 1/2). Farklı yollarda farklı değer elde edildiğinden limit yoktur.

Örnek 2. f(x, y) = x²y + e^(xy) fonksiyonunun (1, 0) noktasında u = (3/5, 4/5) yönündeki yönlü türevini bulunuz.

Çözüm: fₓ = 2xy + y e^(xy) ⇒ fₓ(1, 0) = 0. fᵧ = x² + x e^(xy) ⇒ fᵧ(1, 0) = 1 + 1 = 2. ∇f(1, 0) = (0, 2) ve Dᵤf = 0 · 3/5 + 2 · 4/5 = 8/5.

Örnek 3. f(x, y) = x³ + y³ − 3xy fonksiyonunun kritik noktalarını sınıflandırınız.

Çözüm: fₓ = 3x² − 3y = 0 ⇒ y = x², fᵧ = 3y² − 3x = 0 ⇒ x = y². Buradan x = x⁴ ⇒ x = 0 veya x = 1; kritik noktalar (0, 0) ve (1, 1)'dir. fₓₓ = 6x, fᵧᵧ = 6y, fₓᵧ = −3, D = 36xy − 9. (0, 0)'da D = −9 < 0 ⇒ eyer noktası. (1, 1)'de D = 27 > 0 ve fₓₓ = 6 > 0 ⇒ yerel minimum, değeri f(1, 1) = −1.

Örnek 4. ∫₀¹ ∫ from y = x to 1 of e^(y²) dy dx integralini hesaplayınız.

Çözüm: e^(y²)'nin ilkel fonksiyonu elementer değildir; sıra değiştirilir. Bölge 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1 olarak yazılır. İntegral ∫₀¹ ∫₀ʸ e^(y²) dx dy = ∫₀¹ y e^(y²) dy = (1/2)(e − 1) bulunur.

Örnek 5. D: x² + y² ≤ 4 bölgesi üzerinde ∬ e^(−(x² + y²)) dA integralini hesaplayınız.

Çözüm: Kutupsal koordinatlarla integral ∫₀^(2π) ∫₀² e^(−r²) r dr dθ = 2π · (1/2)(1 − e⁻⁴) = π(1 − e⁻⁴) olur.

Örnek 6. Birim küre içinde ∭ (x² + y² + z²) dV integralini hesaplayınız.

Çözüm: Küresel koordinatlarda integrand ρ², hacim elemanı ρ² sin φ'dir. ∫₀^(2π) dθ · ∫₀^π sin φ dφ · ∫₀¹ ρ⁴ dρ = 2π · 2 · (1/5) = 4π/5.

Örnek 7. x + 2y = 8 kısıtı altında f(x, y) = xy'nin en büyük değerini bulunuz.

Çözüm: ∇f = λ∇g ⇒ (y, x) = λ(1, 2) ⇒ y = λ, x = 2λ. Kısıttan 2λ + 2λ = 8 ⇒ λ = 2, x = 4, y = 2. En büyük değer f(4, 2) = 8'dir.