ÖABT Lise Mat. Kompleks Analiz konu anlatımı

Kompleks analiz, karmaşık değişkenli fonksiyonların türev ve integral kuramıdır. Reel analizden en önemli farkı, karmaşık anlamda bir kez türevlenebilen (holomorf) fonksiyonun sonsuz kez türevlenebilir ve kuvvet serisine açılabilir olmasıdır. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konu; karmaşık sayılarla işlemler (cebirsel ve kutupsal biçim, De Moivre, kökler), temel fonksiyonlar (eᶻ, Log z, sin z), Cauchy–Riemann denklemleri, harmonik fonksiyonlar ve harmonik eşlenik, Cauchy integral teoremi ve formülü, Laurent serisi, tekil noktalar ve rezidü teoremi ile Möbius dönüşümleri başlıklarında sorulur. Soruların çoğu doğrudan hesaplama gerektirir; bu nedenle formüllerin koşullarını (eğrinin yönü, tekil noktanın eğrinin içinde olup olmadığı, esas değer aralığı) doğru uygulamak belirleyicidir.

Karmaşık sayılar

• z = x + iy, i² = −1. Eşlenik z̄ = x − iy, modül |z| = √(x² + y²), z·z̄ = |z|².
• Bölme: (a + bi)/(c + di) ifadesinde pay ve payda c − di ile çarpılır.

• iⁿ değeri n'nin 4'e bölümünden kalana göre 1, i, −1, −i olarak döngüsel tekrar eder.

Temel fonksiyonlar

• eᶻ = eˣ(cos y + i sin y); |eᶻ| = eˣ; eᶻ, 2πi periyotludur ve hiçbir zaman 0 olmaz.
• Esas logaritma: Log z = ln|z| + i·Arg z (z ≠ 0). Genel logaritma log z = ln|z| + i(Arg z + 2kπ).
• Karmaşık kuvvet: z^w = e^(w·log z); esas değer için Log kullanılır. Örneğin iⁱ'nin esas değeri e^(−π/2)'dir.
• sin z = (e^(iz) − e^(−iz))/(2i), cos z = (e^(iz) + e^(−iz))/2; karmaşık düzlemde sınırlı değildir.

Türev ve Cauchy–Riemann denklemleri

• f(z) = u(x, y) + i·v(x, y) bir z₀ noktasında türevlenebilir ise orada Cauchy–Riemann denklemleri sağlanır: uₓ = v_y ve u_y = −vₓ.
• Kısmi türevler sürekli ve Cauchy–Riemann denklemleri sağlanıyorsa f türevlenebilirdir ve f′(z) = uₓ + i·vₓ olur.
• Bir açık kümenin her noktasında türevlenebilen fonksiyona holomorf (analitik) denir. Polinomlar, eᶻ, sin z, cos z tüm düzlemde holomorftur (tam fonksiyon). z̄, |z|², Re z hiçbir açık kümede holomorf değildir.
• Holomorf f = u + iv için u ve v harmoniktir: uₓₓ + u_yy = 0. u verildiğinde Cauchy–Riemann denklemlerinden bulunan v'ye harmonik eşlenik denir.

Karmaşık integral

• Cauchy integral teoremi: f, basit kapalı C eğrisi ve içinde holomorf ise C üzerinde ∮ f(z) dz = 0.
• Cauchy integral formülü: z₀, pozitif yönlü C'nin içinde ise C üzerinde ∮ f(z)/(z − z₀) dz = 2πi·f(z₀); genel olarak ∮ f(z)/(z − z₀)ⁿ⁺¹ dz = 2πi·f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!.
• |z − a| = r çemberi üzerinde ∮ (z − a)ⁿ dz = 2πi (n = −1 ise), 0 (diğer tam sayılar için).
• Liouville: Sınırlı tam fonksiyon sabittir. Buradan cebirin temel teoremi elde edilir.

Laurent serisi, tekil noktalar ve rezidü

• z₀ yalıtılmış tekil noktası etrafında f(z) = Σ aₙ(z − z₀)ⁿ (n ∈ ℤ) Laurent açılımı yazılır.

• Reel integraller: ∫₋∞^∞ R(x) dx = 2πi·Σ (üst yarı düzlemdeki rezidüler), paydanın derecesi paydan en az 2 fazla ise. ∫₀^(2π) dθ/(a + b cos θ) = 2π/√(a² − b²) (a > |b|).
• Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapı, merkezden en yakın tekil noktaya olan uzaklıktır.

Möbius dönüşümleri

• w = (az + b)/(cz + d), ad − bc ≠ 0. Doğru ve çemberleri doğru ve çemberlere götürür; açıyı korur (konform).
• w = (z − i)/(z + i) üst yarı düzlemi birim diske, reel ekseni birim çembere dönüştürür.

Örnek 1. (1 + i√3)⁶ ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm: |1 + i√3| = √(1 + 3) = 2 ve Arg = π/3. De Moivre ile (1 + i√3)⁶ = 2⁶·e^(i·6π/3) = 64·e^(2πi) = 64 bulunur.

Örnek 2. z³ = −8 denkleminin köklerini bulunuz.

Çözüm: −8 = 8e^(iπ). Kökler zₖ = 2e^(i(π + 2kπ)/3), k = 0, 1, 2. k = 0: 2(cos π/3 + i sin π/3) = 1 + i√3; k = 1: 2e^(iπ) = −2; k = 2: 2e^(i5π/3) = 1 − i√3. Kontrol: kökler toplamı (1 + i√3) + (−2) + (1 − i√3) = 0.

Örnek 3. f(z) = x² + i·y² fonksiyonunun hangi noktalarda türevlenebilir, hangi noktalarda holomorf olduğunu belirleyiniz.

Çözüm: u = x², v = y². uₓ = 2x, v_y = 2y; u_y = 0, vₓ = 0. İkinci denklem her yerde sağlanır; birincisi 2x = 2y, yani y = x doğrusu üzerinde sağlanır. Kısmi türevler sürekli olduğundan f yalnızca y = x doğrusu üzerinde türevlenebilir. Bu doğru hiçbir açık küme içermediğinden f hiçbir noktada holomorf değildir.

Örnek 4. u(x, y) = eˣ cos y fonksiyonunun harmonik eşleniğini bulunuz.

Çözüm: uₓₓ + u_yy = eˣ cos y − eˣ cos y = 0; u harmoniktir. v_y = uₓ = eˣ cos y ⇒ v = eˣ sin y + g(x). vₓ = −u_y ⇒ eˣ sin y + g′(x) = eˣ sin y ⇒ g′ = 0. v = eˣ sin y + C; f = u + iv = eᶻ + iC.

Örnek 5. |z| = 2 çemberi üzerinde pozitif yönde alınan ∮ dz / (z(z − 1)) integralini hesaplayınız.

Çözüm: Tekil noktalar z = 0 ve z = 1, ikisi de |z| < 2 içindedir. Res(f, 0) = 1/(0 − 1) = −1, Res(f, 1) = 1/1 = 1. Rezidü teoremi: ∮ = 2πi(−1 + 1) = 0. Eğri |z| = 1/2 olsaydı yalnızca z = 0 içeride kalır ve sonuç −2πi olurdu.