ÖABT Lise Mat. Soyut Matematik (Mantık, Kümeler, İspat) konu anlatımı

Soyut matematik; matematiğin dilini oluşturan önerme mantığı, niceleyiciler, ispat yöntemleri, küme cebiri, bağıntılar, fonksiyonlar ve kardinalite (sayılabilirlik) kavramlarını kapsar. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konu hem doğrudan (doğruluk tablosu, küme eşitliği, bağıntı sayma) hem de dolaylı olarak (analizdeki ε-δ tanımlarının olumsuzlanması, ispat yönteminin tanınması) sorulur. Lisans düzeyinde beklenen, yalnızca kuralları ezberlemek değil; bir ifadenin mantıksal yapısını çözümleyip doğru ispat stratejisini seçebilmektir.

Önerme mantığı

• Bağlaçlar: p′ (değil), p ∧ q (ve), p ∨ q (veya), p ⇒ q (ise), p ⇔ q (ancak ve ancak).
• Koşullu önerme: p ⇒ q ≡ p′ ∨ q. Yalnızca p doğru, q yanlış iken yanlıştır.
• p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p, tersi p′ ⇒ q′, karşıt tersi q′ ⇒ p′ dir. Önerme yalnızca karşıt tersine denktir.

Niceleyiciler

• (∀x P(x))′ ≡ ∃x P′(x) ve (∃x P(x))′ ≡ ∀x P′(x).
• Olumsuzlamada niceleyicilerin sırası korunur, yalnızca türleri değişir: (∀ε ∃δ ∀x Q)′ ≡ ∃ε ∀δ ∃x Q′.
• ∀x ∃y P(x, y) ile ∃y ∀x P(x, y) genellikle denk değildir; ikincisi birincisini gerektirir, tersi doğru değildir.

İspat yöntemleri

Küme cebiri

• A \ B = A ∩ B′, A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
• Genel De Morgan: A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) ve A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
• s(A) = n ise s(P(A)) = 2ⁿ; k elemanlı alt küme sayısı C(n, k).
• s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C).

Bağıntılar ve fonksiyonlar

• s(A) = n olan A üzerinde: toplam bağıntı 2^(n²), yansıyan 2^(n² − n), simetrik 2^(n(n + 1)/2), yansıyan ve ters simetrik bağıntı 3^(n(n − 1)/2).
• Denklik bağıntısı: (yansıyan, simetrik, geçişken) ile A'nın parçalanışları birebir eşlenir. k sınıflı parçalanış sayısı ikinci tür Stirling sayısı S(n, k), toplam denklik bağıntısı sayısı Bell sayısı Bₙ'dir (B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52).
• Kısmi sıralama: (yansıyan, ters simetrik, geçişken): maksimal/minimal eleman ile en büyük/en küçük eleman farklı kavramlardır.
• s(A) = m, s(B) = n (m ≥ n) için örten fonksiyon sayısı: nᵐ − C(n, 1)(n − 1)ᵐ + C(n, 2)(n − 2)ᵐ − …
• g ∘ f birebir ise f birebirdir; g ∘ f örten ise g örtendir.

Kardinalite

• ℕ, ℤ, ℚ, ℤ × ℤ, cebirsel sayılar sayılabilir; ℝ, irrasyoneller, [0, 1], P(ℕ) sayılamaz.
• Cantor teoremi: Her A için s(A) < s(P(A)). Dolayısıyla "en büyük kardinal" yoktur.
• s(P(ℕ)) = s(ℝ) = c (süreklilik kardinali).

Örnek 1. "Her ε > 0 için öyle bir N vardır ki her n ≥ N için |aₙ − L| < ε" önermesinin değilini yazınız.

Çözüm: Niceleyicilerin sırası korunup türleri değiştirilir, en içteki koşul olumsuzlanır: "Öyle bir ε > 0 vardır ki her N için en az bir n ≥ N ile |aₙ − L| ≥ ε olur." Bu, (aₙ)'nin L'ye yakınsamadığının tanımıdır.

Örnek 2. Her n ≥ 1 için 6 | n³ − n olduğunu gösteriniz.

Çözüm (doğrudan): n³ − n = (n − 1)·n·(n + 1) ardışık üç tam sayının çarpımıdır. Ardışık üç sayıdan biri 3'e, en az biri 2'ye bölünür; 2 ve 3 aralarında asal olduğundan çarpım 6'ya bölünür. (Tümevarımla: (k + 1)³ − (k + 1) = (k³ − k) + 3k(k + 1) ve k(k + 1) çift olduğu için 3k(k + 1) de 6'ya bölünür.)

Örnek 3. A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde kaç denklik bağıntısı tanımlanabilir?

Çözüm: Denklik bağıntıları parçalanışlarla birebir eşlenir. Tek sınıflı: 1; iki sınıflı: S(4, 2) = 7 ({1,2,3}{4} tipi 4 tane, {1,2}{3,4} tipi 3 tane); üç sınıflı: S(4, 3) = C(4, 2) = 6; dört sınıflı: 1. Toplam 1 + 7 + 6 + 1 = 15 = B₄.

Örnek 4. s(A) = 4, s(B) = 2 olmak üzere A'dan B'ye kaç örten fonksiyon vardır?

Çözüm: Tüm fonksiyonlar 2⁴ = 16'dır. Görüntü kümesi tek elemanlı olan (sabit) fonksiyonlar 2 tanedir. Örten fonksiyon sayısı 16 − 2 = 14 olur. Formülle: 2⁴ − C(2, 1)·1⁴ = 16 − 2 = 14.