ÖABT Lise Mat. Sayılar Teorisi konu anlatımı

Sayılar teorisi, tam sayıların bölünebilme yapısını inceler. ÖABT Lise Matematik düzeyinde bölme algoritması, EBOB–EKOK, Öklid algoritması ve Bézout özdeşliği, aritmetiğin temel teoremi, aritmetik fonksiyonlar (τ, σ, φ), kongrüanslar, lineer kongrüanslar, Çin kalan teoremi, Fermat–Euler–Wilson teoremleri, mertebe ve ilkel kök ile asal sayıların dağılımı bilinmelidir. Sorular çoğunlukla büyük kuvvetlerin kalanını bulma, kongrüans sistemi çözme ve aritmetik fonksiyon hesaplama biçimindedir.

Bölünebilme ve EBOB

• EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = |ab|.
• Aritmetiğin temel teoremi: n > 1 her tam sayı, sıralama dışında tek türlü n = p₁^a₁ · p₂^a₂ ⋯ p_k^a_k biçiminde yazılır.

Aritmetik fonksiyonlar (n = p₁^a₁ ⋯ p_k^a_k)

• Pozitif bölen sayısı: τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)⋯(a_k + 1).
• Pozitif bölenlerin toplamı: σ(n) = Π (p_i^(a_i + 1) − 1)/(p_i − 1).
• Euler φ fonksiyonu: φ(n) = n · Π (1 − 1/p_i); 1 ≤ k ≤ n ve EBOB(k, n) = 1 olan k sayısıdır. φ(p) = p − 1, φ(pᵃ) = pᵃ − pᵃ⁻¹.
• τ, σ, φ çarpımsaldır: EBOB(m, n) = 1 ise f(mn) = f(m)f(n).
• Legendre formülü: n! içindeki p asalının kuvveti ⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + ⋯

Kongrüanslar

• a ≡ b (mod n) ⇔ n | a − b. Toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvet almayla korunur.
• Lineer kongrüans: ax ≡ b (mod n): d = EBOB(a, n) olmak üzere d ∤ b ise çözüm yoktur; d | b ise mod n'de tam olarak d çözüm vardır.
• Çin kalan teoremi: n₁, …, n_k ikişer ikişer aralarında asal ise x ≡ a_i (mod n_i) sisteminin mod n₁n₂⋯n_k'de tek çözümü vardır.
• x² ≡ 1 (mod p) (p tek asal) kongrüansının tam 2 çözümü vardır; tek asalların çarpımı olan n = p₁⋯p_k için çözüm sayısı 2ᵏ'dır.

Temel teoremler

Asal sayıların dağılımı

• π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.

Örnek 1. 3¹⁰⁰ sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: Fermat'ya göre 3⁶ ≡ 1 (mod 7). 100 = 6 · 16 + 4 olduğundan 3¹⁰⁰ ≡ 3⁴ = 81 ≡ 81 − 77 = 4 (mod 7). Kalan 4'tür.

Örnek 2. 17x ≡ 5 (mod 23) kongrüansını çözünüz.

Çözüm: EBOB(17, 23) = 1 olduğundan tek çözüm vardır. 17 · 19 = 323 = 14 · 23 + 1 olduğundan 17⁻¹ ≡ 19 (mod 23). x ≡ 5 · 19 = 95 ≡ 95 − 92 = 3 (mod 23). Kontrol: 17 · 3 = 51 = 2 · 23 + 5.

Örnek 3. x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) sistemini çözünüz.

Çözüm: Birinci ve üçüncü denklem x ≡ 2 (mod 21) demektir (3 ve 7 aralarında asal). x = 2 + 21t için 2 + 21t ≡ 2 + t ≡ 3 (mod 5), yani t ≡ 1 (mod 5). x = 23 ve genel çözüm x ≡ 23 (mod 105).

Örnek 4. n = 360 için τ(n), σ(n) ve φ(n) değerlerini bulunuz.

Çözüm: 360 = 2³ · 3² · 5. τ(360) = 4 · 3 · 2 = 24. σ(360) = (2⁴ − 1)(3³ − 1)/2 · (5² − 1)/4 = 15 · 13 · 6 = 1170. φ(360) = 360 · (1/2) · (2/3) · (4/5) = 96.