ÖABT Lise Mat. Soyut Cebir (Gruplar, Halkalar, Cisimler) konu anlatımı

Soyut cebir, işlemlerin kendilerinden çok bu işlemlerin sağladığı özellikleri (kapalılık, birleşme, birim, ters, dağılma) inceleyen alandır. ÖABT Lise Matematik sınavında soyut cebirden her yıl birkaç soru gelir ve sorular üç ana yapı etrafında döner: gruplar, halkalar ve cisimler. En sık sorulan kavramlar; eleman mertebesi, devirli gruplar, Lagrange teoremi, alt grup ve normal alt grup, homomorfizma ve çekirdek, ℤₙ halkası, birimler ve sıfır bölenler, ideal (asal ve maksimal ideal) ve bölüm yapılarıdır.

İkili işlem ve grup

G kümesi üzerinde tanımlı ∗ işlemi için (G, ∗) yapısı aşağıdakileri sağlıyorsa gruptur:

1. Kapalılık: a, b ∈ G ⇒ a ∗ b ∈ G
2. Birleşme: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
3. Birim eleman: a ∗ e = e ∗ a = a olacak şekilde e ∈ G vardır
4. Ters eleman: Her a için a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e olacak şekilde a⁻¹ ∈ G vardır

Ayrıca a ∗ b = b ∗ a ise grup değişmeli (abelyen) gruptur. Örnekler: (ℤ, +), ℚ* = ℚ − {0} olmak üzere (ℚ*, ·), (ℤₙ, +), Sₙ (permütasyon grubu, n ≥ 3 için değişmeli değil). (ℕ, +) ters eleman olmadığı için, (ℤ, ·) çoğu elemanın tersi olmadığı için grup değildir.

Eleman mertebesi ve devirli gruplar

• a elemanının mertebesi, aⁿ = e (toplamsal gösterimde n·a = 0) olacak en küçük pozitif n'dir.
• ℤₙ'de k elemanının mertebesi n / ebob(k, n)'dir.
• Bir permütasyonun mertebesi, ayrık devirlerinin uzunluklarının ekok'udur. Örneğin (1 2)(3 4 5) için ekok(2, 3) = 6.
• Tek bir elemanın ürettiği gruba devirli grup denir. Mertebesi n olan her devirli grup ℤₙ'ye izomorftur.
• ℤₙ'nin üreteç sayısı φ(n) (Euler fonksiyonu), alt grup sayısı ise n'nin pozitif bölen sayısıdır. Her d | n için tam bir alt grup vardır.
• ℤₘ × ℤₙ devirlidir ⇔ ebob(m, n) = 1. Çarpım grubunda (a, b)'nin mertebesi ekok(ord a, ord b)'dir.

Lagrange teoremi ve sonuçları

G sonlu grup ve H ≤ G ise |H|, |G|'yi böler. İndeks [G : H] = |G| / |H| sol yan küme sayısıdır.

Sonuçlar:

• Her elemanın mertebesi grup mertebesini böler.
• Asal mertebeli grup devirlidir ve aşikâr olmayan öz alt grubu yoktur.
• Fermat küçük teoremi: p asal, p ∤ a ⇒ aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p). Euler teoremi: ebob(a, n) = 1 ⇒ a^φ(n) ≡ 1 (mod n).
• Lagrange'ın tersi genelde doğru değildir: 12 mertebeli A₄ grubunun 6 mertebeli alt grubu yoktur.

Normal alt grup ve bölüm grubu

H ≤ G için her g ∈ G'de gH = Hg (eşdeğer olarak gHg⁻¹ = H) ise H normal alt gruptur (H ⊴ G). Değişmeli grupların tüm alt grupları normaldir; indeksi 2 olan her alt grup normaldir. H ⊴ G ise yan kümeler kümesi G/H bir gruptur ve |G/H| = |G| / |H|.

Homomorfizma

φ: G → G' için φ(ab) = φ(a)φ(b) ise φ homomorfizmadır.

• φ(e) = e', φ(a⁻¹) = φ(a)⁻¹.
• Çekirdek: Ker φ = {a ∈ G : φ(a) = e'}; her zaman normal alt gruptur. φ birebir ⇔ Ker φ = {e}.
• Birinci izomorfizma teoremi: G / Ker φ ≅ Im φ. Buradan |G| = |Ker φ|·|Im φ|.
• ℤₘ → ℤₙ homomorfizmalarının sayısı ebob(m, n)'dir (1'in görüntüsü a, m·a ≡ 0 (mod n) sağlamalıdır).

Halka, tamlık bölgesi, cisim

(R, +, ·) yapısında (R, +) değişmeli grup, çarpma birleşmeli ve dağılma özellikleri sağlanıyorsa R halkadır.

• a ≠ 0, b ≠ 0 ve ab = 0 ise a, b sıfır bölendir. ℤₙ'de k ≠ 0 elemanı ebob(k, n) > 1 ise sıfır bölendir; ebob(k, n) = 1 ise birimdir (çarpımsal tersi vardır).
• Birimli, değişmeli ve sıfır böleni olmayan halkaya tamlık bölgesi denir (ör. ℤ, ℤ[x]).
• Sıfırdan farklı her elemanı birim olan değişmeli birimli halkaya cisim denir (ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ).
• ℤₙ cisimdir ⇔ n asaldır.: Her sonlu tamlık bölgesi cisimdir.

İdeal

R halkasının I alt kümesi toplamsal alt grup ve her r ∈ R, a ∈ I için ra, ar ∈ I ise I idealdir. ℤ'nin tüm idealleri nℤ biçimindedir.

• Asal ideal: ab ∈ I ⇒ a ∈ I veya b ∈ I. R/I tamlık bölgesidir.
• Maksimal ideal: I ⊊ J ⊊ R olacak şekilde J ideali yoktur. R/I cisimdir.
• ℤ'de nℤ maksimal ⇔ n asal. {0} ideali ℤ'de asaldır ama maksimal değildir.
• F bir cisim ve p(x), F üzerinde indirgenemez ise F[x]/⟨p(x)⟩ bir cisimdir (ör. ℚ[x]/⟨x² − 2⟩ ≅ ℚ(√2)).

Örnek 1. ℤ₁₈'de 12 elemanının mertebesini bulunuz.

Çözüm: ord(12) = 18 / ebob(12, 18) = 18 / 6 = 3. Kontrol: 3·12 = 36 ≡ 0 (mod 18), 1·12 ve 2·12 = 24 ≡ 6 sıfır değildir.

Örnek 2. ℤ'de a ∗ b = a + b + 2 işlemine göre birim eleman ve 5'in tersini bulunuz.

Çözüm: a ∗ e = a ⇒ a + e + 2 = a ⇒ e = −2. 5 ∗ b = −2 ⇒ 5 + b + 2 = −2 ⇒ b = −9.

Örnek 3. 20 mertebeli bir grubun kaç farklı mertebede alt grubu olabilir?

Çözüm: Lagrange'a göre alt grup mertebesi 20'nin böleni olmalıdır: 1, 2, 4, 5, 10, 20. En çok 6 farklı mertebe mümkündür. Devirli ℤ₂₀ grubunda bu mertebelerin her birinden tam bir alt grup vardır.

Örnek 4. φ: ℤ₁₂ → ℤ₃, φ(x) = x (mod 3) homomorfizmasının çekirdeğini bulunuz.

Çözüm: Ker φ = {x ∈ ℤ₁₂ : 3 | x} = {0, 3, 6, 9}. |Ker φ| = 4 ve birinci izomorfizma teoremi gereği |ℤ₁₂| / |Ker φ| = 12 / 4 = 3 = |Im φ|.