ÖABT Lise Mat. Olasılık ve İstatistik konu anlatımı

Olasılık kuramı rastlantısal olayları matematiksel olarak modeller; istatistik ise verilerden bu modeller hakkında çıkarım yapar. ÖABT Lise Matematik sınavında bu alan; betimleyici istatistik (ortalama, medyan, mod, varyans, standart sapma), olasılık aksiyomları, koşullu olasılık ve bağımsızlık, toplam olasılık ve Bayes teoremi, kesikli ve sürekli rastgele değişkenler, beklenen değer ve varyans, temel dağılımlar (binom, geometrik, Poisson, düzgün, üstel, normal), kovaryans ve korelasyon, moment çıkaran fonksiyon, Chebyshev eşitsizliği, merkezî limit teoremi, en çok olabilirlik kestirimi ve güven aralığı başlıklarında sorulur. Sorular çoğunlukla bir dağılımı tanıyıp doğru formülü uygulamayı ve beklenen değer ile varyansın özelliklerini kullanmayı gerektirir.

Betimleyici istatistik

• Aritmetik ortalama x̄ = (Σxᵢ)/n. Medyan: sıralı verinin ortası (çift sayıda veride ortadaki iki değerin ortalaması). Mod: en sık tekrar eden değer.
• Anakütle (popülasyon) varyansı σ² = Σ(xᵢ − μ)²/n; örneklem varyansı s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Standart sapma varyansın kareköküdür.
• Her veriye c eklenirse ortalama c artar, varyans değişmez; her veri a ile çarpılırsa varyans a² ile çarpılır.

Olasılık

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Aᶜ) = 1 − P(A).

Rastgele değişkenler

• Kesikli: E[X] = Σ x·p(x). Sürekli: E[X] = ∫ x·f(x) dx, ∫ f = 1.
• Var(X) = E[X²] − (E[X])². E[aX + b] = aE[X] + b, Var(aX + b) = a²Var(X).
• Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y]; Var(aX + bY) = a²Var X + b²Var Y + 2ab·Cov(X, Y). ρ = Cov(X, Y)/(σ_X σ_Y), −1 ≤ ρ ≤ 1.
• Bağımsız X, Y için Cov = 0 (tersi genel olarak doğru değildir).
• Koşullu varyans formülü: Var(Y) = E[Var(Y | X)] + Var(E[Y | X]).

Temel dağılımlar

Limit teoremleri ve çıkarım

Örnek 1. Bir hastalığın toplumdaki sıklığı %1'dir. Test, hastaların %99'unda pozitif; sağlıklı kişilerin %5'inde de (yanlış) pozitif sonuç vermektedir. Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

Çözüm: P(H) = 0,01, P(+ | H) = 0,99, P(+ | Hᶜ) = 0,05. Toplam olasılık: P(+) = 0,01·0,99 + 0,99·0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594. Bayes: P(H | +) = 0,0099/0,0594 = 1/6 ≈ 0,167. Test çok duyarlı olsa da hastalık seyrek olduğundan pozitif sonucun güvenilirliği düşüktür.

Örnek 2. Bir atıcı hedefi 0,2 olasılıkla vurmaktadır. Bağımsız 5 atışta en az bir kez vurma olasılığı nedir?

Çözüm: X ~ B(5; 0,2). P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,8⁵ = 1 − 0,32768 = 0,67232. "En az bir" sorularında tümleyen olay kullanmak işlemi kısaltır.

Örnek 3. X'in olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) = 2x (0 ≤ x ≤ 1) olsun. E[X] ve Var(X) değerlerini bulunuz.

Çözüm: ∫₀¹ 2x dx = 1 olduğundan f bir yoğunluktur. E[X] = ∫₀¹ 2x² dx = 2/3. E[X²] = ∫₀¹ 2x³ dx = 1/2. Var(X) = 1/2 − 4/9 = 1/18.

Örnek 4. Bir sınavın puanları ortalaması 70, standart sapması 5 olan normal dağılıma uymaktadır. Rastgele seçilen bir öğrencinin puanının 65 ile 80 arasında olma olasılığı nedir? (P(0 < Z < 1) = 0,3413, P(0 < Z < 2) = 0,4772)

Çözüm: z₁ = (65 − 70)/5 = −1, z₂ = (80 − 70)/5 = 2. P(−1 < Z < 2) = P(0 < Z < 1) + P(0 < Z < 2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185.

Örnek 5. Ortalaması 100, standart sapması 12 olan bir anakütleden 36 birimlik örneklem alınıyor. Örneklem ortalamasının 104'ten büyük olma olasılığını merkezî limit teoremiyle yaklaşık olarak bulunuz.

Çözüm: Standart hata σ/√n = 12/6 = 2. z = (104 − 100)/2 = 2. P(x̄ > 104) ≈ P(Z > 2) = 0,5 − 0,4772 = 0,0228.