ÖABT Lise Mat. İntegral ve Uygulamaları konu anlatımı

İntegral, türevin tersi olan belirsiz integral ile Riemann toplamlarının limiti olarak tanımlanan belirli integrali birlikte ele alır. Bu iki kavram Analizin Temel Teoremi ile birbirine bağlanır. ÖABT Lise Matematik sınavında integral; değişken değiştirme, kısmi integrasyon, basit kesirlere ayırma, trigonometrik yerine koyma, indirgeme (Wallis) formülleri, Riemann toplamlarıyla limit, integralin türevi (Leibniz kuralı), genelleştirilmiş integraller ve alan, hacim, yay uzunluğu, dönel yüzey alanı gibi uygulamalar üzerinden sorulur. Lisans düzeyinde; hesaplamanın yanında yöntemin doğru seçilmesi ve integralin yakınsaklığının incelenmesi de beklenir.

Belirli integral ve temel teorem

• Riemann toplamı: ∫ₐᵇ f(x) dx = lim n→∞ Σ f(xₖ) · Δx, Δx = (b − a)/n.
• Özellikle lim n→∞ (1/n) Σ f(k/n) (k = 1'den n'ye) = ∫₀¹ f(x) dx.

İntegral alma yöntemleri

Genelleştirilmiş integraller

• ∫₁^∞ dx/xᵖ yalnızca p > 1 için, ∫₀¹ dx/xᵖ yalnızca p < 1 için yakınsaktır.
• ∫₀^∞ xⁿ e^(−ax) dx = n!/aⁿ⁺¹ (a > 0).
• Karşılaştırma ve limit karşılaştırma testleri, integrandın tekil noktalar ve sonsuz civarındaki davranışına bakılarak uygulanır.

Uygulamalar

Örnek 1. ∫₂³ dx / (x² − x) integralini hesaplayınız.

Çözüm: 1/(x(x − 1)) = 1/(x − 1) − 1/x biçiminde ayrılır. İntegral [ln|x − 1| − ln|x|] ifadesinin 2 ile 3 arasındaki farkıdır: (ln 2 − ln 3) − (ln 1 − ln 2) = 2 ln 2 − ln 3 = ln(4/3).

Örnek 2. F(x) = ∫ from x to x² of e^(t²) dt ise F'(1) kaçtır?

Çözüm: Leibniz kuralıyla F'(x) = e^(x⁴) · 2x − e^(x²) · 1 olur. x = 1 için F'(1) = 2e − e = e bulunur.

Örnek 3. y = x − x² eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz.

Çözüm: Eğri x eksenini x = 0 ve x = 1'de keser. Kabuk yöntemiyle V = 2π ∫₀¹ x(x − x²) dx = 2π(1/3 − 1/4) = 2π/12 = π/6 bulunur. Disk yöntemi burada x'i y cinsinden çözmeyi gerektirdiği için daha zahmetlidir.

Örnek 4. y = (2/3)x^(3/2) eğrisinin 0 ≤ x ≤ 3 aralığındaki yay uzunluğunu bulunuz.

Çözüm: y' = x^(1/2) olduğundan 1 + (y')² = 1 + x olur. L = ∫₀³ √(1 + x) dx = (2/3)[(1 + x)^(3/2)] ifadesinin 0 ile 3 arasındaki farkı = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Örnek 5. ∫₀^∞ x² e^(−x) dx integralinin yakınsaklığını inceleyip değerini bulunuz.

Çözüm: Kısmi integrasyon iki kez uygulanırsa ∫ x² e^(−x) dx = −e^(−x)(x² + 2x + 2) + C bulunur. x → ∞ iken üstel çarpan polinomu bastırdığından sınır terimi 0'a gider. Değer 0 − (−2) = 2 = 2! olur; integral yakınsaktır.

Örnek 6. lim n→∞ (1/n)[√(1/n) + √(2/n) + … + √(n/n)] limitini bulunuz.

Çözüm: Bu ifade f(x) = √x fonksiyonunun [0, 1] aralığındaki Riemann toplamıdır. Limit ∫₀¹ √x dx = 2/3 olur.