ÖABT Lise Mat. Diziler ve Seriler konu anlatımı

Diziler ve seriler, reel analizin sonsuz süreçlerle ilgilenen bölümüdür. ÖABT Lise Matematik sınavında bu konu; dizilerin yakınsaklığı, monoton yakınsaklık teoremi ve özyinelemeli diziler, Cauchy dizileri, Bolzano–Weierstrass teoremi, seri toplamları (geometrik, teleskopik, kuvvet serisinden türetilen), yakınsaklık testleri (n. terim, karşılaştırma, limit karşılaştırma, oran, kök, integral, alterne seri), mutlak ve koşullu yakınsaklık ile kuvvet serilerinin yakınsaklık yarıçapı ve aralığı başlıkları üzerinden sorulur. Hem sayısal toplam hesabı hem de hangi testin hangi durumda sonuç verdiğinin bilinmesi beklenir.

Diziler

• (aₙ) dizisi L'ye yakınsar ⇔ ∀ε > 0 ∃N: n ≥ N ⇒ |aₙ − L| < ε.

Seriler ve toplamlar

Yakınsaklık testleri

Kuvvet serileri

• Σ cₙ(x − a)ⁿ için yakınsaklık yarıçapı R = 1 / lim sup ⁿ√|cₙ| ya da (limit varsa) R = lim |cₙ/cₙ₊₁|.
• |x − a| < R'de mutlak yakınsak, |x − a| > R'de ıraksaktır; uç noktalar ayrıca incelenir.
• Yakınsaklık aralığı içinde terim terim türev ve integral alınabilir; R değişmez.
• Maclaurin serileri: eˣ = Σ xⁿ/n!, sin x = Σ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n + 1)!, cos x = Σ (−1)ⁿx²ⁿ/(2n)!, ln(1 + x) = Σ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n (−1 < x ≤ 1), 1/(1 − x) = Σ xⁿ (|x| < 1).

Örnek 1. a₁ = √2, aₙ₊₁ = √(2 + aₙ) dizisinin limitini bulunuz.

Çözüm: Tümevarımla aₙ < 2 olduğu gösterilir: aₙ < 2 ise aₙ₊₁ < √4 = 2. Ayrıca aₙ₊₁² − aₙ² = 2 + aₙ − aₙ² = (2 − aₙ)(1 + aₙ) > 0 olduğundan dizi artandır. Monoton ve sınırlı olduğundan yakınsaktır. L = √(2 + L) ⇒ L² − L − 2 = 0 ⇒ L = 2 (L > 0).

Örnek 2. Σ 1/(n(n + 2)) (n = 1'den ∞'a) serisinin toplamını bulunuz.

Çözüm: 1/(n(n + 2)) = (1/2)[1/n − 1/(n + 2)]. Kısmi toplamda iki adım aralıklı sadeleşme olur ve yalnızca 1 ile 1/2 terimleri kalır. Toplam (1/2)(1 + 1/2) = 3/4.

Örnek 3. Σ (x − 2)ⁿ/(n · 3ⁿ) (n = 1'den) kuvvet serisinin yakınsaklık aralığını bulunuz.

Çözüm: |cₙ/cₙ₊₁| = (n + 1)3ⁿ⁺¹/(n · 3ⁿ) → 3, yani R = 3 ve seri −1 < x < 5'te mutlak yakınsar. x = 5'te seri Σ 1/n olur, ıraksaktır. x = −1'de seri Σ (−1)ⁿ/n olur, alterne seri testiyle yakınsaktır. Aralık [−1, 5).

Örnek 4. Σ n!/nⁿ serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.

Çözüm: Oran testi: aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)! nⁿ / ((n + 1)ⁿ⁺¹ n!) = [n/(n + 1)]ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ → 1/e < 1. Seri yakınsaktır.

Örnek 5. Σ (n + 2)/(n³ + 1) serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.

Çözüm: bₙ = 1/n² ile limit karşılaştırma yapılır: aₙ/bₙ = n²(n + 2)/(n³ + 1) → 1. Σ 1/n² yakınsak (p = 2 > 1) olduğundan verilen seri de yakınsaktır.

Örnek 6. Σ (−1)ⁿ⁺¹/n serisinin toplamını ve ilk 99 terimle yapılan hatanın bir üst sınırını bulunuz.

Çözüm: ln(1 + x) serisinde x = 1 yazılırsa (Abel teoremiyle) toplam ln 2'dir. Alterne seri kalan tahminiyle |ln 2 − S₉₉| ≤ b₁₀₀ = 1/100.