ÖABT Sınıf Temel Matematik: Cebir ve Fonksiyonlar konu anlatımı

Cebir, sayılar arasındaki genel ilişkileri harfler (değişkenler) yardımıyla ifade etmeyi sağlayan matematik alanıdır. İlkokulda örüntüler ve eşitliğin korunumu ile başlayan cebirsel düşünme, ortaokulda cebirsel ifadeler, özdeşlikler, birinci dereceden denklemler, eşitsizlikler ve doğrusal ilişkiler ile gelişir. ÖABT Sınıf Öğretmenliği bu konuda ileri düzey soyut cebir değil; cebirsel ifadeleri sadeleştirme, denklem kurma ve çözme, örüntünün genel kuralını bulma ve temel fonksiyon kavramını kullanma becerilerini ölçer. Sınıf öğretmeni adayının ayrıca eşittir işaretinin anlamı, değişken kavramı gibi konularda öğrencilerin yaşadığı kavram yanılgılarını tanıması beklenir.

Örüntüler ve genel kural

Belirli bir kurala göre devam eden sayı, şekil ya da nesne dizilerine örüntü denir. Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan örüntülere aritmetik örüntü denir. İlk terimi a₁, ortak farkı d olan bir aritmetik örüntünün n. terimi aₙ = a₁ + (n − 1) × d kuralıyla bulunur. Örneğin 4, 7, 10, 13, ... örüntüsünde d = 3 olduğundan genel kural aₙ = 4 + (n − 1) × 3 = 3n + 1 olur. İlk n tek sayının toplamı n²'dir: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n².

Eşitlik ve değişken

Eşittir işareti, iki tarafın aynı değere sahip olduğunu gösteren bir denge ilişkisidir; yalnızca sonucu yaz komutu değildir. Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir, çıkarılır ya da her iki taraf sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitlik bozulmaz. Değişken, farklı değerler alabilen niceliği gösteren harftir; bilinmeyen ise bir denklemde değeri aranan belirli sayıdır.

Cebirsel ifadeler

3x² − 5x + 7 ifadesinde 3x², −5x ve 7 birer terim, 3 ve −5 katsayı, 7 sabit terimdir. Değişkenleri ve bu değişkenlerin üsleri aynı olan terimlere benzer terim denir; toplama ve çıkarma yalnızca benzer terimler arasında yapılır: 2a + 3b − a + 4b = a + 7b.

Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a − b)(a + b)
• Ortak çarpan parantezine alma: 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
• x² + bx + c ifadesi, toplamı b ve çarpımı c olan m ve n sayıları için (x + m)(x + n) biçiminde yazılır: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

Birinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler

ax + b = 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir ve çözümü x = −b/a'dır. Eşitsizliklerde de aynı işlemler yapılır; ancak eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse eşitsizliğin yönü değişir. Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır; |x| = a (a > 0) ise x = a veya x = −a olur.

Denklem sistemleri

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan sistemler yok etme (denklemleri uygun katsayılarla toplayıp bir bilinmeyeni yok etme) ya da yerine koyma yöntemiyle çözülür.

Fonksiyonlar

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A'nın her elemanını B'nin yalnız bir elemanıyla eşleyen bağıntıya A'dan B'ye fonksiyon denir. A tanım kümesi, B değer kümesidir; A'nın elemanlarının eşlendiği elemanlardan oluşan küme ise görüntü kümesidir. f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir; grafiği bir doğrudur ve a bu doğrunun eğimidir. Bileşke fonksiyon (f ∘ g)(x) = f(g(x)) biçiminde tanımlanır; önce g, sonra f uygulanır. Birebir ve örten bir f fonksiyonunun tersi f⁻¹, eşlemeyi geri çevirir: y = ax + b ise x = (y − b)/a olduğundan f⁻¹(x) = (x − b)/a bulunur.