KPSS Ortaöğretim Asal Çarpanlar, EBOB – EKOK konu anlatımı

Asal çarpanlar, EBOB ve EKOK konusu, KPSS Ortaöğretim'de hem doğrudan işlem sorusu hem de günlük hayat problemi olarak yaklaşık 1 soruyla karşına çıkar. Konunun temeli, bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazabilmektir. Bu yazılış; bölen sayısını, en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) hızlıca bulmayı sağlar.

Problemlerde asıl zorluk, sorunun EBOB mu yoksa EKOK mu istediğini anlamaktır. Kısa bir ipucu: Bir bütün parçalara bölünüyorsa (kesme, ayırma, döşeme, aralıklarla dikme) genellikle EBOB; küçük parçalar birleştirilerek büyük bir bütün oluşturuluyorsa ya da olaylar tekrar aynı anda yaşanıyorsa EKOK kullanılır.

Asal sayılar

• 1'den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
• 1 asal değildir.: 2, tek çift asal sayıdır.
• 1'den 20'ye kadar 8, 1'den 30'a kadar 10 asal sayı vardır.
• EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir: 4 ile 9 asal değildir ama aralarında asaldır.

Asal çarpanlara ayırma ve bölen sayısı

• Her doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak tek biçimde yazılır: 60 = 2² · 3 · 5.
• Asal çarpanlar: , bu yazılıştaki farklı asal sayılardır: 60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
• A = aˣ · bʸ · cᶻ ise pozitif bölen sayısı = (x + 1)(y + 1)(z + 1).
• Tam bölen sayısı: (pozitif ve negatif) pozitif bölen sayısının 2 katıdır.
• Çift bölen sayısı: = toplam bölen sayısı − tek bölen sayısı. Tek bölenler, sayıdaki 2 çarpanı atılarak bulunur.

EBOB ve EKOK

• EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.
• EKOK: Bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.
• İki sayı için EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b.
• EBOB(a, b) = d ise a = d · x, b = d · y yazılır ve x ile y aralarında asaldır; ayrıca EKOK = d · x · y olur.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1, EKOK'u çarpımlarıdır.

Problem tipleri