KPSS Ortaöğretim Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler konu anlatımı

Çarpanlara ayırma, bir toplamı çarpım biçiminde yazmaktır. Örneğin 2x + 10 toplamı 2(x + 5) çarpımına, x² − 25 ifadesi ise (x − 5)(x + 5) çarpımına dönüştürülebilir. Özdeşlikler ise değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklerdir; (a + b)² = a² + 2ab + b² bunun en bilinen örneğidir.

KPSS Ortaöğretim'de bu konu genellikle işlem kolaylığı sağlayan bir araç olarak karşına çıkar: 45² − 35² gibi işlemleri hızlıca yapmak, a + b ile ab verilip a² + b²'yi bulmak ya da basit bir kesirli ifadeyi sadeleştirmek en sık görülen kalıplardır. Birkaç temel özdeşliği iyi öğrenmek bu soruların tamamını çözmeye yeter.

Temel yöntemler

• Ortak çarpan parantezi: ab + ac = a(b + c). Örnek: 3x² + 12x = 3x(x + 4).
• Gruplandırma: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).
• x² + bx + c üç terimlisi: Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bulunur. Örnek: x² + 5x + 6 → çarpımı 6, toplamı 5 olan sayılar 2 ve 3 → (x + 2)(x + 3). Başka bir örnek: x² − 6x + 8 → çarpımı 8, toplamı −6 olan sayılar −2 ve −4 → (x − 2)(x − 4).

Temel özdeşlikler

• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Tam kare: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Kareler toplamı: a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab.
• Fark bağıntısı: (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
• Ters sayılar: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 ve (x − 1/x)² = x² + 1/x² − 2.

Sayısal işlemlerde kullanım

• 45² − 35² = (45 − 35)(45 + 35) = 10 · 80 = 800.
• 21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441.
• 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.

Kesirli ifadeleri sadeleştirme

• Pay ve payda önce çarpanlarına ayrılır, sonra ortak çarpanlar sadeleştirilir. Toplam hâlindeki terimler sadeleştirilmez: (x + 2)/2 ifadesinde 2'ler sadeleşmez.
• Paydayı sıfır yapan değerler için ifade tanımsızdır.