KPSS Ortaöğretim Geometri: Açılar ve Üçgenler konu anlatımı

Açılar ve üçgenler, geometrinin en temel konusudur. KPSS Ortaöğretim matematik testindeki geometri sorularının büyük bölümü bir açı hesabına ya da bir üçgene dayanır. Sorular genellikle kolay ya da orta düzeydedir; şekil sözle anlatılır ve bir iki kural uygulanarak sonuca gidilir.

Bu konuda öğrenilmesi gerekenler şunlardır: açı çeşitleri ve açı ilişkileri (tümler, bütünler, ters açılar), paralel iki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılar, üçgende açılar (iç açılar toplamı, dış açı, ikizkenar ve eşkenar üçgen) ve dik üçgen (Pisagor teoremi ve özel dik üçgenler). Ayrıca üçgen eşitsizliği ile üçgenin alanı da sık sorulur.

Açı çeşitleri ve açı ilişkileri

• 0° ile 90° arasındaki açı dar açı, 90° olan açı dik açı, 90° ile 180° arasındaki açı geniş açı, 180° olan açı doğru açıdır.
• Toplamı 90° olan iki açı tümler, toplamı 180° olan iki açı bütünler açılardır. x açısının tümleri 90° − x, bütünleri 180° − x'tir.
• İki doğru kesiştiğinde karşılıklı oluşan ters açılar eşittir. Yan yana duran komşu açılar bütünlerdir.

Paralel doğrular ve kesen

• Yöndeş açılar (iki paralelde aynı konumdaki açılar) eşittir.
• İç ters açılar (paralellerin arasında, kesenin farklı taraflarında; "Z" biçimi) eşittir.
• Karşı durumlu iç açılar (paralellerin arasında, kesenin aynı tarafında; "U" biçimi) bütünlerdir: toplamları 180°'dir.

Üçgende açılar

• Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir.
• Bir köşedeki dış açı, diğer iki köşedeki iç açıların toplamına eşittir. İç açı ile aynı köşedeki dış açının toplamı 180°'dir.
• Üçgenin dış açılarının toplamı 360°'dir.
• İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Tepe açısı a ise her taban açısı (180° − a) / 2'dir.
• Eşkenar üçgende her açı 60°'dir.
• Dik üçgende iki dar açının toplamı 90°'dir.
• Açılar 1, 2, 3 gibi sayılarla orantılıysa açılar k, 2k, 3k yazılır ve toplamları 180°'ye eşitlenir.

Üçgen eşitsizliği

• Bir üçgende her kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür: |a − b| < c < a + b.
• Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.

Dik üçgen ve Pisagor teoremi

• Dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve en uzun kenardır. Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise a² + b² = c².
• Ezberlenmesi gereken üçlüler: 3 – 4 – 5, 5 – 12 – 13, 6 – 8 – 10.
• 30° – 60° – 90° üçgeni: 30°'nin karşısı x ise 60°'nin karşısı x√3, hipotenüs 2x'tir.
• 45° – 45° – 90° üçgeni: Dik kenarlar x ise hipotenüs x√2'dir.
• Kenarı a olan eşkenar üçgenin yüksekliği a√3 / 2'dir.

Üçgenin alanı

• Alan = (taban · yükseklik) / 2.
• Dik üçgende alan = (iki dik kenarın çarpımı) / 2.