KPSS Ortaöğretim Üslü ve Köklü Sayılar konu anlatımı

Üslü ve köklü sayılar, KPSS Ortaöğretim Genel Yetenek matematik testinde genellikle 1 soru ile doğrudan yer alır. Bu soru çoğunlukla kısa bir işlem ya da basit bir üslü denklemdir. Konunun asıl önemi ise diğer konulara etkisidir: denklemler, çarpanlara ayırma ve sayı problemlerinde üs ve kök kurallarını sık sık kullanırsın.

n tane a sayısının çarpımı aⁿ ile gösterilir; a taban, n üs olarak adlandırılır. Örneğin 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16'dır. Köklü sayılar ise üslü sayıların tersidir: √a, karesi a olan negatif olmayan sayıdır (√81 = 9), ∛a ise küpü a olan sayıdır (∛(−125) = −5).

Bu konuda başarının anahtarı üç alışkanlıktır: tabanları eşitlemek, kök içindeki tam kare çarpanları dışarı çıkarmak ve toplama ile çarpma kurallarını birbirine karıştırmamak. Test sorularında üsler 2^(x + 1) biçiminde de yazılır; bu yazım 2ˣ⁺¹ ile aynı anlamdadır.

Üslü sayılar

• Özel durumlar: a¹ = a; a⁰ = 1 (a ≠ 0); 1ⁿ = 1. 0⁰ tanımsızdır.
• Negatif üs: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Negatif üs sonucu negatif yapmaz, tabanı ters çevirir: 4⁻² = 1/16.
• İşaret: Negatif sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−5)² = 25, (−5)³ = −125. Parantez yoksa eksi işareti üsse dâhil değildir: −5² = −25.
• Çarpma: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Bölme: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
• Üssün üssü: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Örnek: (5²)² = 5⁴ = 625.
• Üsleri eşit sayılar: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ. Örnek: 2³ · 5³ = 10³ = 1000.
• Toplama: Yalnızca taban ve üssü aynı terimler birleşir: 2ˣ + 2ˣ = 2 · 2ˣ = 2ˣ⁺¹. Farklı üslerde ortak çarpan parantezine alınır: 5ˣ⁺¹ − 5ˣ = 5ˣ(5 − 1) = 4 · 5ˣ.
• Üslü denklemler: Tabanlar eşitlenir, sonra üsler eşitlenir: 4ˣ = 32 → 2²ˣ = 2⁵ → 2x = 5 → x = 5/2.
• Basamak sayısı: 2ᵃ · 5ᵇ biçimindeki sayılarda 2 ile 5 eşleştirilerek 10'un kuvveti oluşturulur; kalan çarpanın basamak sayısına sıfır sayısı eklenir.

Köklü sayılar

• Tanım: Karekökte kök içi negatif olamaz ve √a ≥ 0'dır. √(x²) = |x|.
• Kesirli üs: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ. Örnek: 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.
• Dışarı çıkarma: √(a² · b) = a√b. Örnek: √50 = √(25 · 2) = 5√2. İçeri alma: 4√3 = √(16 · 3) = √48.
• Çarpma ve bölme: √a · √b = √(ab), √a / √b = √(a/b).
• Toplama ve çıkarma: Yalnızca kök içi aynı olan terimler birleşir: 7√5 − 3√5 = 4√5. √a + √b ≠ √(a + b).
• Paydayı rasyonel yapma: Paydada √a varsa pay ve payda √a ile çarpılır: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3. Paydada √a − √b varsa eşleniği √a + √b ile genişletilir: (√a − √b)(√a + √b) = a − b.
• Sıralama: Köklü sayılar kök içine alınarak karşılaştırılır: 2√3 = √12 ve 3√2 = √18 olduğundan 2√3 < 3√2.