KPSS Ortaöğretim Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer konu anlatımı

Basit eşitsizlikler ve mutlak değer, KPSS Ortaöğretim matematik testinde genellikle 1 soruyla yer alır. Eşitsizlik bölümünde bir değişkenin aralığından başka bir ifadenin aralığını bulmak, eşitsizliği sağlayan en büyük – en küçük tam sayıyı belirlemek ve aynı yönlü eşitsizliklerle işlem yapmak sorulur. Mutlak değer bölümünde ise mutlak değerli denklemlerin kökleri, mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümesi ve işareti bilinen ifadelerin mutlak değer dışına çıkarılması öne çıkar.

İki konunun ortak noktası işaret bilgisidir: Eşitsizlikte negatif sayıyla çarpınca yön değişir; mutlak değerde ise içerideki ifade negatifse dışarıya ters işaretle çıkar. Ortaöğretim düzeyindeki soruların büyük bölümü bu iki kuralla ve açık – kapalı uç ayrımına dikkat ederek çözülür.

Eşitsizliğin özellikleri

• Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa yön değişmez.
• İki taraf pozitif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişmez; negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişir: −2x < 8 → x > −4.
• Aynı yönlü: eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir; taraf tarafa çıkarılamaz. Çıkarma için ikinci eşitsizlik −1 ile çarpılıp (yön değiştirilip) toplanır.
• a < b < 0 ise 1/a > 1/b'dir; aynı işaretli sayılarda ters çevirmek yönü değiştirir.

Aralıktan aralık bulma

• Değişkenler tam sayı ise uçlara en yakın tam sayılar alınır; reel ise açık uçlar değer olarak alınamaz.

Mutlak değer

• |x|, x'in sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır; |x| ≥ 0.
• x ≥ 0 ise |x| = x; x < 0 ise |x| = −x. Örneğin |−4| = 4.
• |a − b|, a ile b arasındaki uzaklıktır; |a − b| = |b − a|.
• |a · b| = |a| · |b| ve |a / b| = |a| / |b| (b ≠ 0).
• Dışarı çıkarma: İçerideki ifade pozitifse aynen, negatifse işareti değiştirilerek çıkar. a < 0 < b ise |a − b| = b − a.

Mutlak değerli denklem ve eşitsizlikler

• |x − a| = b (b > 0) → x − a = b veya x − a = −b; iki kök vardır ve kökler toplamı 2a'dır. b < 0 ise çözüm yoktur.
• |x − a| < b → a − b < x < a + b (a'ya uzaklığı b'den az olan sayılar).
• |x − a| > b → x < a − b veya x > a + b.
• |x − a| + |x − b| ifadesinin en küçük değeri |a − b|'dir ve x, a ile b arasındayken elde edilir.
• İç içe mutlak değerde dıştan içe doğru açılır: ||x| − 1| = 2 → |x| − 1 = 2 veya |x| − 1 = −2. İlkinden |x| = 3 (x = 3 ya da x = −3) bulunur; ikincisi |x| = −1 verir ve çözümü yoktur.