KPSS Ortaöğretim Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık konu anlatımı

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık, "bir iş kaç farklı şekilde yapılabilir?" ve "bir olayın olma ihtimali nedir?" sorularına cevap veren konulardır. KPSS Ortaöğretim matematik testinde bu başlıktan genellikle bir soru gelir. Sorular kısa ve sayılar küçüktür; önemli olan, durumu doğru okuyup doğru kuralı seçmektir.

Her şeyin temeli saymadır. Önce toplama ve çarpma kurallarıyla basit seçimler sayılır. Sonra şu soru sorulur: Sıralama önemli mi? Sıralama önemliyse (başkan ve yardımcı seçmek, kitapları rafa dizmek, rakamlarla sayı yazmak) permütasyon; önemsizse (ekip, grup, alt küme seçmek) kombinasyon kullanılır. Olasılık ise istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle bulunur.

Temel sayma kuralları

• Çarpma kuralı: İş art arda yapılan adımlardan oluşuyorsa ("ve") seçenek sayıları çarpılır. 3 gömlek ve 2 pantolondan birer tane seçmenin yolu 3 · 2 = 6'dır.
• Toplama kuralı: Seçimler birbirinin yerine geçiyorsa ("ya da") seçenek sayıları toplanır. 3 roman ya da 2 hikâye kitabından bir tane seçmenin yolu 3 + 2 = 5'tir.

Faktöriyel

• n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1. Ayrıca 0! = 1 ve 1! = 1'dir.
• Bilinmesi gereken değerler: 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720.
• Bölme işleminde büyük faktöriyeli küçüğe kadar aç: 6! / 4! = 6 · 5 = 30.

Permütasyon (sıralama önemli)

• n farklı nesne yan yana n! farklı şekilde dizilir.
• n farklı nesneden r tanesinin dizilişi: P(n, r) = n! / (n − r)!; yani n'den başlayarak geriye doğru r tane sayının çarpımı. P(5, 2) = 5 · 4 = 20.
• Tekrarlı permütasyon: Aynı harfler ya da nesneler varsa n!, tekrar edenlerin faktöriyellerine bölünür: n! / (a! · b! · …).
• Yuvarlak masa: n kişi yuvarlak bir masaya (n − 1)! farklı şekilde oturur.
• Yan yana olma: Yan yana olacak kişiler tek bir kişi (blok) gibi sayılır; sonuç, blok içindeki sıralama sayısıyla çarpılır.
• Rakamlarla sayı yazma: En soldaki basamağa 0 yazılamaz. "Rakamları farklı" deniyorsa kullanılan rakam bir daha kullanılmaz.

Kombinasyon (sıralama önemsiz)

• n farklı nesneden r tanesinin seçimi: C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!).
• Kolay hesap: C(n, r) = P(n, r) / r!. Örneğin C(6, 2) = (6 · 5) / (2 · 1) = 15.
• Özellikler: C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = n ve C(n, r) = C(n, n − r). Örneğin C(9, 7) = C(9, 2) = 36.
• C(n, 2) = n · (n − 1) / 2 ifadesi tokalaşma ve ikili grup sorularında doğrudan kullanılır.
• Farklı gruplardan seçim yapılıyorsa her gruptaki sonuçlar çarpılır.

Olasılık

• P(A) = istenen durum sayısı / tüm durumların sayısı.
• Olasılık 0 ile 1 arasındadır. Olmayacak bir olayın olasılığı 0, kesin olacak bir olayın olasılığı 1'dir.
• Tümleyen kuralı: P(A olmaması) = 1 − P(A). "En az bir" geçen sorularda önce "hiç olmama" olasılığını bulup 1'den çıkar.
• Bir zar atıldığında 6, iki zar atıldığında 6 · 6 = 36, bir para atıldığında 2, iki para atıldığında 2 · 2 = 4 sonuç vardır.
• Torbadan aynı anda iki top çekiliyorsa durumlar kombinasyonla sayılır: 8 toptan 2 top C(8, 2) = 28 farklı şekilde çekilir.