ALES Analitik Geometri konu anlatımı

Analitik geometri, geometrik şekilleri koordinat düzleminde sayılarla inceler. Her nokta bir (x, y) sıralı ikilisiyle, her doğru ise bir denklemle ifade edilir. ALES'te bu konudan gelen sorular çoğunlukla nokta (iki nokta arası uzaklık, orta nokta, simetri) ve doğru (eğim, doğru denklemi, paralellik–diklik, eksenleri kestiği noktalar, noktanın doğruya uzaklığı) üzerinedir. Zaman zaman koordinatları verilen bir üçgenin alanı ya da basit bir çember denklemi de sorulur.

Bu konunun avantajı, şekle bakmadan tamamen hesapla sonuca ulaşılabilmesidir. Yine de noktaları kabaca bir koordinat düzlemine yerleştirmek, işaret hatalarını ve yanlış bölgeyi fark etmeyi kolaylaştırır. x eksenini kesen noktada y = 0, y eksenini kesen noktada x = 0 olduğunu hatırlamak soruların yarısını çözer.

Noktalar — A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) için

• Uzaklık: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Orta nokta: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
• Köşeleri A, B, C olan üçgenin ağırlık merkezi: koordinatların ortalaması, ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3).
• Simetri: (a, b) noktasının x eksenine göre simetriği (a, −b); y eksenine göre (−a, b); orijine göre (−a, −b); y = x doğrusuna göre (b, a).

Doğrular

• Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Eğim, doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır: 45° → m = 1, 135° → m = −1.
• Eğimi m olan ve (x₁, y₁)'den geçen doğru: y − y₁ = m(x − x₁).
• y = mx + n biçiminde m eğim, n y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
• ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi −a/b'dir.
• Eksenleri (a, 0) ve (0, b) noktalarında kesen doğru: x/a + y/b = 1; eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı |a · b|/2.
• Paralel doğruların eğimleri eşittir: m₁ = m₂. Dik doğrularda m₁ · m₂ = −1.
• (x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı: |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²).
• Paralel iki doğru ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 arası uzaklık: |c₁ − c₂| / √(a² + b²) (a ve b katsayıları önce eşitlenmelidir).
• İki doğrunun kesim noktası, denklemlerin ortak çözümüdür.

Alan ve çember

• Köşeleri (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) olan üçgenin alanı: |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| / 2. Bir kenar eksene paralelse taban · yükseklik / 2 daha hızlıdır.
• Merkezi (a, b), yarıçapı r olan çember: (x − a)² + (y − b)² = r². x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçimi tam kareye tamamlanarak merkez ve yarıçap bulunur.