ALES Temel Kavramlar ve Sayılar konu anlatımı

Temel kavramlar ve sayılar, ALES sayısal bölümünün bütün işlem ve problem sorularının zeminidir. Doğrudan bu başlıktan her sınavda birkaç soru gelir; dolaylı olarak ise hemen her soruda sayı kümelerini, tek–çift ve işaret kurallarını, basamak çözümlemesini kullanırsın.

ALES'te bu konu, lise düzeyindeki bilgiyi hızlı ve kombinasyonlu biçimde yoklar: Tek bir soruda hem asal sayı hem basamak kavramı, ya da hem tek–çift hem ardışık sayı bilgisi istenebilir. Bu yüzden kuralları ezberlemek yetmez; bir ifadenin hangi koşulda kesinlikle tek, çift, pozitif ya da negatif olduğunu hızla sınayabilmek gerekir.

Başarının anahtarı üç alışkanlıktır: Soru kökündeki kümeyi doğru okumak (doğal sayı mı, tam sayı mı, rakam mı, "farklı" mı?), genel ifade yazmak (üç basamaklı sayı = 100a + 10b + c) ve uç değerleri denemek (en büyük/en küçük soruları).

Sayı kümeleri ve rakam

• Rakamlar: {0, 1, 2, …, 9}. "Farklı rakamlar" ifadesi rakamların tekrar edemeyeceğini söyler.
• Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, …}. Sayma sayıları: {1, 2, 3, …}.
• Tam sayılar: Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. 0 ne pozitif ne negatiftir, ama çift sayıdır.
• Rasyonel sayılar: a/b (a, b tam sayı, b ≠ 0) biçiminde yazılabilenler. İrrasyonel: √2, π gibi bu biçimde yazılamayanlar. Reel sayılar ikisinin birleşimidir.

Tek – çift kuralları

• T ± T = Ç, Ç ± Ç = Ç, T ± Ç = T.
• T · T = T; çarpanlardan en az biri çift ise çarpım çifttir.
• Bir çarpımın tek olması için bütün çarpanlar tek olmalıdır.
• Kuvvet teklik–çiftliği değiştirmez: aⁿ (n ≥ 1) ile a aynı türdendir.

Pozitif – negatif kuralları

• (+)·(−) = (−), (−)·(−) = (+). Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
• a · b < 0 ise a ile b ters işaretlidir; a · b > 0 ise aynı işaretlidir.
• a² ≥ 0 her zaman doğrudur; bir ifadenin "kesinlikle pozitif" olduğunu söylemek için sıfır olma ihtimalini de dışarıda bırakmak gerekir.

Ardışık sayılar

• n'den başlayan k tane ardışık tam sayı: n, n + 1, …, n + k − 1. Ardışık çift ya da tek sayılar 2'şer artar.
• Terim sayısı = (son − ilk) / artış + 1.
• Toplam = (ilk + son) · terim sayısı / 2. Terim sayısı tek ise toplam = ortanca terim · terim sayısı.
• 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Basamak kavramı

• İki basamaklı AB = 10A + B; üç basamaklı ABC = 100A + 10B + C.
• AB + BA = 11(A + B); AB − BA = 9(A − B).
• ABC − CBA = 99(A − C); ABC + BCA + CAB = 111(A + B + C).
• En baştaki rakam 0 olamaz; bu, "en küçük" sorularında sık unutulur.

Asal sayılar ve faktöriyel

• Asal sayı: 1'den büyük, yalnızca 1'e ve kendisine bölünen sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 2 tek çift asal sayıdır. 1 asal değildir.
• İki basamaklı en küçük asal 11, en büyük asal 97'dir.
• Aralarında asal: 1'den başka ortak böleni olmayan sayılar (8 ve 15 gibi; ikisinin de asal olması gerekmez).
• n! = 1 · 2 · … · n, 0! = 1! = 1. (n + 1)! = (n + 1) · n!
• n! sayısının sonundaki sıfır sayısı = [n/5] + [n/25] + [n/125] + … (köşeli parantez tam kısım). Örnek: 25! için 5 + 1 = 6.
• n! içindeki p asal çarpanının kuvveti = [n/p] + [n/p²] + [n/p³] + …