ALES Bölme, Bölünebilme, EBOB – EKOK konu anlatımı

Bölme, bölünebilme ve EBOB – EKOK, ALES sayısal bölümünde hem doğrudan soru olarak hem de problem sorularının içinde (zil çalma, halat kesme, fayans döşeme, gruplara ayırma) karşına çıkar. Konu, lisans düzeyinde yeni bir şey öğretmez; ancak kuralları hızlı ve birlikte kullanmayı ister: Bir sayının 36'ya bölünmesi için hem 4 hem 9 kuralını, kalan sorularında ise bölme algoritmasını aynı anda işletmen gerekir.

Konunun omurgası bölme algoritmasıdır: A = B · C + K ve 0 ≤ K < B. Kalan soruları, bölünebilme kuralları ve EBOB–EKOK uygulamaları hep bu eşitliğe dayanır. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak ise bölen sayısı, EBOB, EKOK ve faktöriyel sorularının ortak anahtarıdır.

Bölme algoritması

• A = B · C + K, 0 ≤ K < B (A bölünen, B bölen, C bölüm, K kalan). Kalan, bölenden her zaman küçüktür.
• K = 0 ise A, B ile tam bölünür.
• A'nın B ile bölümünden kalan K ise, B'nin bir böleni olan m için A'nın m ile bölümünden kalan, K'nin m ile bölümünden kalandır. Örnek: A'nın 12 ile bölümünden kalan 7 ise 6 ile bölümünden kalan 1'dir.
• Toplam, fark ve çarpımın kalanı, kalanlar üzerinden bulunur: a ≡ 3, b ≡ 5 (mod 7) ise a · b ≡ 15 ≡ 1 (mod 7).

Bölünebilme kuralları

• 2: Son rakam çift. 5: Son rakam 0 ya da 5. 10: Son rakam 0.
• 3: Rakamlar toplamı 3'ün katı. 9: Rakamlar toplamı 9'un katı. Kalan da rakamlar toplamının kalanıdır.
• 4: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı. 8: Son üç basamak 8'in katı.
• 11: Sağdan başlayarak rakamlar sırayla +, −, +, − ile toplanır; sonuç 11'in katı olmalıdır.
• Birleşik sayılar: Aralarında asal çarpanlara ayrılır: 6 = 2 · 3, 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9, 72 = 8 · 9. (12 için "2 ve 6" kullanılmaz; 2 ile 6 aralarında asal değildir.)

Asal çarpanlar ve bölen sayısı

• A = pᵃ · qᵇ · rᶜ ise pozitif bölen sayısı (a + 1)(b + 1)(c + 1).
• Tam sayı bölenleri bunun iki katıdır (negatifler dâhil).
• Tek bölen sayısı: 2'nin kuvveti yok sayılarak hesaplanır. Çift bölen sayısı = toplam − tek.
• Örnek: 360 = 2³ · 3² · 5 → (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 pozitif bölen; tek bölen sayısı 3 · 2 = 6, çift bölen sayısı 18.

EBOB – EKOK

• EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerinin çarpımı. EKOK: Bütün asal çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımı.
• İki sayı için EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b.
• EBOB(a, b) = d ise a = d · x, b = d · y ve x ile y aralarında asaldır; EKOK = d · x · y.
• EBOB problemleri: "en büyük parça", "en az sayıda eş kare", "eşit aralıklı en az ağaç" → bölmek, parçalamak.
• EKOK problemleri: "ilk kez birlikte", "en az kaç kişi", "her gruplamada aynı artan" → buluşmak, katları.
• Kalanlı EKOK: Bir sayı 4, 6, 9'a bölündüğünde hep 3 kalıyorsa sayı = EKOK · k + 3. Kalanlar bölenden hep aynı miktar eksikse (3'e bölünce 2, 4'e bölünce 3) sayı = EKOK · k − 1.