ALES Katı Cisimler konu anlatımı

Katı cisimler konusu, üç boyutlu şekillerin hacim ve yüzey alanı hesaplarını kapsar: dikdörtgenler prizması, küp, dik prizmalar, silindir, piramit, koni ve küre. ALES'te bu konudan gelen sorular çoğunlukla bir formülün doğrudan uygulanmasıyla değil, iki bilginin birleştirilmesiyle çözülür: Örneğin yüzey alanından kenar bulunup hacim hesaplanır, ya da bir cisim eritilip başka bir cisme dönüştürülür ve hacimler eşitlenir.

Temel fikir basittir: Prizma ve silindirde hacim = taban alanı · yükseklik; piramit ve konide bunun üçte biri; kürede 4πr³/3. Yüzey alanı ise cismin açınımındaki tüm yüzlerin alanları toplamıdır. Üç boyutlu uzunluk soruları (cisim köşegeni, koninin ana doğrusu) yine Pisagor bağıntısına dayanır.

Sıvı sorularında "kaba bir cisim bırakılınca su ne kadar yükselir?" sorusunun anahtarı şudur: Yükselen suyun hacmi, batan cismin hacmine eşittir.

Prizmalar

• Dikdörtgenler prizması (a, b, c): hacim a · b · c; yüzey alanı 2(ab + bc + ac); cisim köşegeni √(a² + b² + c²).
• Küp (kenar a): hacim a³; yüzey alanı 6a²; yüz köşegeni a√2; cisim köşegeni a√3.
• Dik prizma: hacim taban alanı · h; yanal alan taban çevresi · h; toplam alan = yanal alan + 2 · taban alanı.

Silindir (yarıçap r, yükseklik h)

• Hacim πr²h; yanal alan 2πrh; toplam alan 2πr(r + h).

Piramit ve koni

• Piramit hacmi (taban alanı · h) / 3.
• Koni: ana doğru l² = r² + h²; hacim πr²h / 3; yanal alan πrl; toplam alan πr(r + l).
• Koninin yanal yüzeyi açıldığında yarıçapı l olan bir daire dilimi oluşur; bu dilimin merkez açısı α = 360° · r / l.
• Aynı taban ve yükseklikteki koni, silindirin 1/3'ü kadar hacimdedir.

Küre (yarıçap r)

• Hacim 4πr³/3; yüzey alanı 4πr².
• Yarıçapı r ve yüksekliği 2r olan silindirin içine tam sığan kürenin hacmi, silindir hacminin 2/3'üdür.

Benzerlik ve dönüşümler

• Benzer iki cisimde uzunluk oranı k ise alan oranı k², hacim oranı k³'tür.
• Bir cisim eritilip başka bir cisim yapılırsa hacim korunur.
• Taban alanı S olan bir kaba, hacmi V olan bir cisim tamamen batırılırsa (su taşmadan) su seviyesi V / S kadar yükselir.