ALES Eşitsizlikler ve Mutlak Değer konu anlatımı

Eşitsizlikler ve mutlak değer, ALES sayısal bölümünde genellikle bir ya da iki soru ile yer alır; ancak "en büyük/en küçük değer", "kaç tam sayı değeri" ve "işaret belirleme" becerileri problem sorularında da sık kullanılır. Bu konudaki sorular kısa görünür ama işaret hatasına çok açıktır; bu yüzden kuralları sistemli uygulamak gerekir.

Eşitsizlik, iki ifade arasındaki büyüklük ilişkisini (<, ≤, >, ≥) gösterir. Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir, iki taraf pozitif bir sayıyla çarpılabilir; negatif bir sayıyla çarpıldığında ya da bölündüğünde yön değişir. Değişkenlerin aralıkları verildiğinde bir ifadenin alabileceği değer aralığını bulmak ALES'in en sevdiği soru tipidir.

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır; bu yüzden hiçbir zaman negatif değildir. |x − a| ifadesi x ile a arasındaki uzaklık olarak yorumlanır; bu yorum, pek çok soruyu hesap yapmadan çözmeyi sağlar.

Eşitsizlik kuralları

• a < b ise a + c < b + c (her c için).
• a < b ve c > 0 ise ac < bc; c < 0 ise ac > bc (yön değişir).
• 0 < a < b ise 1/a > 1/b; a < b < 0 ise yine 1/a > 1/b (aynı işaretli sayılarda ters çevirme yönü değiştirir).
• Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir, ama taraf tarafa çıkarılamaz. Fark için ikinci eşitlik −1 ile çarpılıp toplanır.
• Aralık bulma (toplama): a < x < b ve c < y < d ise a + c < x + y < b + d.
• Aralık bulma (çarpma): x ve y'nin uç değerlerinin dört çarpımı hesaplanır; en küçüğü alt, en büyüğü üst sınırdır. Açık uçlar açık kalır.
• Kare: −2 < x < 3 ise 0 ≤ x² < 9 (sıfırı içeren aralıkta karenin en küçük değeri 0'dır).
• Tam sayı sayısı: a ≤ x ≤ b aralığındaki tam sayıların sayısı b − a + 1'dir (a, b tam sayı).

Mutlak değer kuralları

• |x| = x (x ≥ 0), |x| = −x (x < 0). |x| ≥ 0; |−x| = |x|; |x · y| = |x| · |y|.
• |x| = a (a ≥ 0) ⇒ x = a ya da x = −a. a < 0 ise çözüm yoktur.
• |x − c| < a ⇒ −a < x − c < a ⇒ c − a < x < c + a (c'ye uzaklığı a'dan az).
• |x − c| > a ⇒ x − c > a ya da x − c < −a (c'ye uzaklığı a'dan fazla).
• |f(x)| = g(x) denklemlerinde g(x) ≥ 0 koşulu kontrol edilmelidir.
• |x − a| + |x − b| (a < b) ifadesinin en küçük değeri b − a'dır ve a ≤ x ≤ b için alınır.
• İşaretli ifade sadeleştirme: Mutlak değerin içi pozitifse aynen, negatifse işaret değiştirerek dışarı çıkar.