ALES Rasyonel ve Ondalık Sayılar konu anlatımı

Rasyonel ve ondalık sayılar, ALES sayısal bölümünde doğrudan işlem sorusu olarak gelir; ayrıca kesir, yüzde, oran ve karışım problemlerinin tamamında hesap aracı olarak kullanılır. Bu yüzden kesirlerle ve ondalık sayılarla hızlı ve hatasız işlem yapmak, sınavın geneline zaman kazandırır.

Bir rasyonel sayı a/b (a, b tam sayı, b ≠ 0) biçiminde yazılabilen sayıdır. Her rasyonel sayı ya sonlu bir ondalık açılıma (3/8 = 0,375) ya da devirli bir ondalık açılıma (1/6 = 0,1666… = 0,1(6)) sahiptir. ALES'te devirli sayıyı kesre çevirme, kesirleri sıralama, iç içe (merdiven) kesirleri sadeleştirme ve ondalık sayılarla bölme en sık karşılaşılan becerilerdir.

Genel strateji: Ondalık sayıyı kesre, devirli sayıyı kesre çevir; sonra sadeleştir. Virgüllü sayılarla uzun bölme yapmak yerine pay ve paydayı 10'un aynı kuvvetiyle genişletmek hem hızlı hem güvenlidir.

Kesirlerle işlemler

• Toplama–çıkarma: Paydalar eşitlenir (EKOK kullanmak sayıları küçük tutar).
• Çarpma: Pay pay ile, payda payda ile çarpılır; önce çapraz sadeleştirme yapılır.
• Bölme: İkinci kesir ters çevrilip çarpılır: (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c).
• İşlem önceliği: Parantez → üs → çarpma/bölme → toplama/çıkarma.
• Merdiven (iç içe) kesirler: En içten başlanır; 1 / (a/b) = b/a kuralı her adımda uygulanır.

Ondalık sayılar

• Virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10'un kuvvetine bölünür: 0,36 = 36/100.
• Bölmede virgülden kurtulma: Pay ve payda 10'un aynı kuvvetiyle çarpılır: 0,36 / 0,012 = 360 / 12 = 30.
• Çarpmada virgülden sonraki basamak sayıları toplanır: 0,8 · 0,25 = 0,200 = 0,2.

Devirli ondalık sayılar

• Kural: Devirli sayı = (virgülsüz sayının tamamı − devretmeyen kısım) / (devreden basamak sayısı kadar 9, ardından devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0).
• 0,(3) = 3/9 = 1/3; 0,(27) = 27/99 = 3/11; 0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6; 1,2(3) = (123 − 12)/90 = 111/90 = 37/30.
• 0,(9) = 1 ve genel olarak 0,a(9) = 0,(a + 1): 0,2(9) = 0,3.

Sıralama teknikleri

• Payda ya da payları eşitleme: 3/4 ile 5/7 → 21/28 ile 20/28.
• Çapraz çarpım: a/b > c/d ⇔ a · d > b · c (paydalar pozitifken).
• 1'e tamamlama: Pay ile payda arasındaki fark sabitse (13/15, 17/19, 21/23) kesirler 1 − 2/15, 1 − 2/19, 1 − 2/23 biçiminde yazılır; paydası büyük olan 1'e daha yakındır, yani daha büyüktür.
• Ara değer (0,5 ya da 1) ile karşılaştırma hızlı eleme sağlar.
• 0 < x < 1 için x² < x < √x ve 1/x > 1; −1 < x < 0 için x < x³ < 0 < x² < −x.