ALES Kümeler, İşlem ve Modüler Aritmetik konu anlatımı

Bu başlık ALES sayısal bölümünde üç yakın konuyu birlikte kapsar: kümeler, işlem ve modüler aritmetik. Üçü de ezber formülden çok tanımı doğru uygulama becerisini ölçer.

Kümeler sorularında genellikle bir grubun farklı özelliklere göre dağılımı verilir (iki dil bilenler, çay ve kahve içenler, üç dersten birini sevenler gibi). Çözümün anahtarı Venn şeması çizip en içteki bölgeden (kesişim) başlayarak dışa doğru doldurmaktır. Alt küme sayısı ve belirli sayıda elemanlı alt küme soruları da bu konuya dahildir.

İşlem sorularında soruda yeni bir işlem tanımlanır (örneğin a ∆ b = 2a − b) ve bu tanıma göre hesap yapılır. Birim (etkisiz) eleman, ters eleman, değişme ve birleşme özellikleri sık sorulur.

Modüler aritmetik ise "kalan" mantığıdır: Bir sayının bir modüle göre kalanı, büyük üslerin son basamağı, "bugünden 100 gün sonra hangi gün" ya da "şimdiden 100 saat sonra saat kaç" gibi döngüsel sorular bu araçla çözülür.

Kümeler

• n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir.
• n elemanlı kümenin r elemanlı alt küme sayısı C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!).
• İki küme: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B).
• Fark: s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B) ("yalnız A").
• Üç küme: s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C).
• Hiçbirinde olmayan = evrensel küme − birleşim.
• De Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ ve (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.

İşlem

• Tanım neyse o uygulanır: a ∆ b = 2a − b ise 5 ∆ 3 = 2 · 5 − 3 = 7.
• Değişme: a ∗ b = b ∗ a her a, b için sağlanıyorsa işlem değişmelidir.
• Birim (etkisiz) eleman e: a ∗ e = e ∗ a = a. Bulmak için a ∗ e = a denklemini e için çöz.
• Ters eleman: a ∗ a⁻¹ = e. Önce birim elemanı bul, sonra a ∗ x = e denklemini çöz.
• Parantez önceliği vardır: (a ∗ b) ∗ c önce parantez içi hesaplanır.
• İpucu: a ∗ b = a + b + ab işlemi (a + 1)(b + 1) − 1 biçiminde yazılabilir; zincirleme işlemleri çok kısaltır.

Modüler aritmetik

• a ≡ b (mod m): a ile b'nin m'ye bölümünden kalanlar eşittir; yani m, a − b'yi böler.
• Toplama ve çarpma kalanlar üzerinden yapılabilir: 38 ≡ 3 ve 17 ≡ 3 (mod 7) olduğundan 38 · 17 ≡ 3 · 3 = 9 ≡ 2 (mod 7). Kontrol: 38 · 17 = 646 = 7 · 92 + 2.
• Üslerde döngü: Kalanlar belirli bir periyotla tekrar eder. Periyodu bul, üssü periyoda böl, kalana bak.
• Son basamak = 10'a bölümünden kalan. 2, 3, 7, 8 ile biten sayıların üslerinde son basamak 4'lü döngüyle tekrar eder.
• Günler: Hafta 7 günlük döngüdür (mod 7). Saat: 24 saatlik döngüdür (mod 24).