ALES Üslü ve Köklü Sayılar konu anlatımı

Üslü ve köklü sayılar, ALES sayısal bölümünde her sınavda doğrudan birkaç soruyla yer alır ve çarpanlara ayırma, denklem, sayı problemleri gibi konularda sürekli araç olarak kullanılır. ALES soruları bu konuda genellikle "kuralı bilmeyi" değil, kuralı doğru yerde kullanmayı ölçer: tabanları eşitlemek, ortak çarpan parantezine almak, kök içindeki tam kareyi dışarı çıkarmak ve paydayı rasyonel yapmak.

n tane a sayısının çarpımı aⁿ ile gösterilir; a taban, n üstür. Köklü sayılar üslü sayıların kesirli üs biçimidir: ⁿ√a = a^(1/n). Bu eşitlik, köklü ifadeleri üslü kurallarla çözmeyi sağlar ve iç içe kök, kök sıralama gibi soruların anahtarıdır.

Testlerde üsler 2^(x + 1) biçiminde de yazılır; bu yazım 2ˣ⁺¹ ile aynı anlamdadır.

Üslü sayılar

• a⁰ = 1 (a ≠ 0), a¹ = a, 1ⁿ = 1; 0⁰ tanımsızdır.
• Negatif üs: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Negatif üs işareti değil, tabanı ters çevirir.
• İşaret: Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8. Parantez yoksa eksi üsse dâhil değildir: −3² = −9, (−3)² = 9.
• Çarpma / bölme: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Üssün üssü: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Aynı üs: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Örnek: 4⁵ · 25⁵ = 100⁵ = 10¹⁰.
• Toplama: Yalnızca aynı terimler birleşir; farklı üslerde ortak çarpan parantezine alınır: 3ˣ⁺² − 3ˣ = 3ˣ(9 − 1) = 8 · 3ˣ.
• Üslü denklem: Tabanlar eşitlenir, üsler eşitlenir. aˣ = aʸ ⇒ x = y (a > 0, a ≠ 1). 9ˣ gibi terimler varsa t = 3ˣ dönüşümüyle ikinci dereceden denkleme geçilir.
• Basamak sayısı: 2ᵃ · 5ᵇ sayısında ortak kısım 10'un kuvvetidir; kalan çarpanın basamak sayısına sıfır sayısı eklenir.
• Son rakam: 2, 3, 7, 8'in kuvvetlerinin son rakamı 4'lü; 4 ve 9'unki 2'li devreder; 0, 1, 5, 6 sabittir.
• Sıralama: Üsler eşitlenir (2³⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = 9¹⁰) ya da tabanlar eşitlenir.

Köklü sayılar

• ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n). Çift dereceli kökte kök içi negatif olamaz; √(x²) = |x|.
• Dışarı çıkarma: √(a² · b) = a√b: √72 = 6√2. İçeri alma: 3√2 = √18.
• Çarpma–bölme: √a · √b = √(ab), √a / √b = √(a/b). Farklı dereceli kökler ortak dereceye getirilir: √3 = ⁶√27, ∛5 = ⁶√25.
• Toplama: Yalnızca kök içleri aynı terimler birleşir: 5√3 − 4√3 = √3. √a + √b ≠ √(a + b).
• Paydayı rasyonel yapma: 1/√a = √a/a; 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b).
• İç içe kök: x + y = a ve x · y = b (x > y) ise √(a ± 2√b) = √x ± √y.
• Sonsuz kök: x = √(a + √(a + …)) ise x² = a + x.