ALES Denklem Çözme konu anlatımı

Denklem, içinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin yalnızca bazı değerleri için doğru olan eşitliktir. ALES'te denklem çözme hem doğrudan soru olarak gelir hem de bütün problem türlerinin (sayı, yaş, yüzde, karışım, hareket) son adımını oluşturur: Problem, sözel ifadeyi denkleme çevirip bu denklemi hatasız çözmekten ibarettir.

Sınavda en sık karşılaşılan türler birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, iki bilinmeyenli denklem sistemleri ve kesirli (rasyonel) denklemlerdir. Zaman zaman basit ikinci dereceden denklemler (çarpanlara ayrılabilen) ve "çözüm kümesi boş / sonsuz" gibi parametreli sorular da gelir.

Temel ilke şudur: Eşitliğin iki tarafına aynı işlem uygulanırsa eşitlik bozulmaz. Toplama–çıkarma ile terimler taraf değiştirir, çarpma–bölme ile katsayılar ve paydalar temizlenir.

• ax + b = 0 denkleminde a ≠ 0 ise tek çözüm vardır: x = −b/a.
• a = 0 ve b = 0 ise denklem her x için sağlanır (çözüm kümesi tüm reel sayılar); a = 0 ve b ≠ 0 ise çözüm kümesi boştur.
• Payda eşitleme: Kesirli ifadelerde bütün terimler paydaların EKOK'u ile çarpılır. x/3 + x/4 = 14 → 4x + 3x = 168.
• Paydayı sıfır yapan değer çözüm olamaz: 2/(x − 2) gibi bir terim varsa x ≠ 2 koşulu yazılmalıdır.
• Yok etme yöntemi: İki denklemde aynı bilinmeyenin katsayıları zıt yapılır ve denklemler taraf tarafa toplanır.
• Yerine koyma yöntemi: Bir denklemde bir bilinmeyen yalnız bırakılır ve diğerine yazılır.
• Sistemin çözüm sayısı: a₁x + b₁y = c₁ ve a₂x + b₂y = c₂ için
  • a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → tek çözüm,
  • a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → çözüm yok (doğrular paralel),
  • a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → sonsuz çözüm (doğrular çakışık).
• Toplama kısayolu: a + b, b + c, a + c verildiyse üçü toplanır: 2(a + b + c) bulunur.
• İkinci derece: x² + bx + c = 0 çarpanlarına ayrılabiliyorsa (x − m)(x − n) = 0 → x = m veya x = n. Burada m + n = −b ve m · n = c'dir.
• Birinci dereceden olma koşulu: Bir denklemin birinci dereceden olması için x²'li terimin katsayısı 0 olmalıdır.