ALES Çokgenler ve Dörtgenler konu anlatımı

Çokgenler ve dörtgenler, ALES geometri sorularında üçgenlerden sonra en sık başvurulan konudur. Çokgen sorularının çoğu açı ve köşegen sayısı üzerine kuruludur ve birkaç formülle çözülür. Dörtgen soruları ise kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen, yamuk ve deltoidin alan, çevre ve köşegen özelliklerini kullanır.

Dörtgen sorularının büyük bölümü aslında birer üçgen sorusudur: Bir köşegen ya da yükseklik çizilerek dik üçgen elde edilir ve Pisagor bağıntısı uygulanır. Örneğin ikizkenar yamukta üst tabanın uçlarından inen yükseklikler, yanlarda iki eş dik üçgen oluşturur. Bu nedenle üçgen bilgisi bu konunun temelidir.

Her dörtgenin köşegen özelliklerini ayrı ayrı bilmek gerekir: Karede köşegenler eşit ve diktir; dikdörtgende eşittir; eşkenar dörtgende diktir ve birbirini ortalar; paralelkenarda yalnızca birbirini ortalar.

Çokgenler (n kenarlı)

• İç açılar toplamı: (n − 2) · 180°.
• Dış açılar toplamı: her dışbükey çokgende 360°.
• Düzgün çokgende bir dış açı 360°/n, bir iç açı 180° − 360°/n = (n − 2) · 180°/n.
• Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı n − 3; toplam köşegen sayısı n(n − 3)/2.
• Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni n − 2 üçgene ayırır.
• Düzgün altıgen (kenar a): 6 eşkenar üçgenden oluşur, alan 6 · a²√3/4 = 3a²√3/2; uzun köşegeni 2a.

Dörtgenler

• Her dörtgende iç açılar toplamı 360°.
• Kare (kenar a): alan a², çevre 4a, köşegen a√2; köşegen e ise alan e²/2.
• Dikdörtgen (kenarlar a, b): alan a · b, çevre 2(a + b), köşegen √(a² + b²).
• Paralelkenar: Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit; karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünler (toplamı 180°). Alan = taban · yükseklik = a · b · sin(aradaki açı). Köşegenler birbirini ortalar.
• Paralelkenarda bir kenar üzerindeki herhangi bir noktanın karşı kenarın uçlarıyla oluşturduğu üçgenin alanı, paralelkenar alanının yarısıdır.
• Eşkenar dörtgen: Dört kenarı eşit; köşegenler dik kesişir ve birbirini ortalar. Alan = e · f / 2 (e, f köşegenler). Kenar = √((e/2)² + (f/2)²).
• Yamuk (tabanlar a ve c, yükseklik h): alan (a + c)/2 · h; orta taban (a + c)/2.
• İkizkenar yamukta yan kenarlar eşittir; üst tabanın uçlarından inen dikmeler alt tabandan her iki yanda (alt − üst)/2 uzunluğunda parça ayırır.
• Deltoid (iki çift komşu kenar eşit): köşegenler diktir, alan e · f / 2.
• Köşegenleri dik kesişen her dörtgende alan = e · f / 2.