ALES Üçgenler (Açı, Alan, Benzerlik) konu anlatımı

Üçgenler, ALES geometri sorularının en sık görülen konusudur. Sorular üç ana eksende toplanır: açı (iç açılar, dış açılar, ikizkenar ve eşkenar üçgen özellikleri), uzunluk (Pisagor bağıntısı, özel dik üçgenler, açıortay ve kenarortay bağıntıları) ve alan (taban–yükseklik, benzer üçgenlerde alan oranı). Çoğu soru, bu araçlardan ikisini birleştirir: Örneğin önce benzerlikle bir kenar bulunur, sonra alan hesaplanır.

ALES'te geometri soruları uzun ispat istemez; doğru bağıntıyı tanıyıp hızlıca uygulamayı ölçer. Bu yüzden 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 gibi Pisagor üçlülerini, 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerinin kenar oranlarını ezbere bilmek büyük zaman kazandırır. Şekil verilmediğinde kendin kabaca bir çizim yap: Hangi kenarın hangi açının karşısında olduğunu görmek hataları önler.

Açılar

• İç açılar toplamı: A + B + C = 180°.
• Bir köşedeki dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Üç dış açının toplamı 360°'dir.
• İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki (taban) açılar eşittir. Eşkenar üçgende her açı 60°'dir.
• Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
• B ve C açılarının iç açıortayları I noktasında kesişiyorsa m(BIC) = 90° + A/2 olur.

Kenarlar

• Üçgen eşitsizliği: Kenarları a, b, c olan üçgende |b − c| < a < b + c.
• Pisagor: Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise a² + b² = c². Sık üçlüler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları (6-8-10, 9-12-15 …).
• En uzun kenar c olmak üzere: c² < a² + b² ise üçgen dar açılı, c² > a² + b² ise geniş açılıdır.
• 30-60-90 üçgeni: Kenarlar sırasıyla x, x√3, 2x (30°'nin karşısı x, 60°'nin karşısı x√3, hipotenüs 2x).
• 45-45-90 üçgeni: Kenarlar x, x, x√2.
• Öklid bağıntıları (A açısı dik, AH hipotenüse dik yükseklik, BH = p, HC = k): AH² = p · k, AB² = p · BC, AC² = k · BC, ayrıca AB · AC = BC · AH.
• Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.
• İç açıortay teoremi: A'nın açıortayı BC'yi D'de keserse AB / AC = BD / DC.
• Kenarortay ve ağırlık merkezi: Üç kenarortay G noktasında kesişir; G, her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler. G'nin köşelerle oluşturduğu GAB, GBC, GCA üçgenlerinin her birinin alanı, ana üçgenin alanının 1/3'üdür.

Alan

• Alan = taban · yükseklik / 2. Dik üçgende alan = dik kenarların çarpımı / 2.
• İki kenar ve aradaki açı bilindiğinde: Alan = (1/2) · a · b · sin C. sin 30° = sin 150° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = sin 120° = √3/2.
• Eşkenar üçgen (kenar a): yükseklik a√3/2, alan a²√3/4.
• Heron formülü: u = (a + b + c)/2 olmak üzere Alan = √(u(u − a)(u − b)(u − c)).
• Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır.

Benzerlik

• Açıları karşılıklı eşit olan üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı k ise uzunluklar k, alanlar k² oranındadır.
• Temel orantı (Thales): ABC üçgeninde D ∈ [AB], E ∈ [AC] ve DE ∥ BC ise AD/AB = AE/AC = DE/BC.
• Kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası karşı kenara paraleldir ve onun yarısı kadardır.