ALES Çember ve Daire konu anlatımı

Çember ve daire konusu ALES'te iki tür soruyla karşımıza çıkar: açı–yay ilişkileri (merkez açı, çevre açı, kirişler dörtgeni, teğet özellikleri) ve uzunluk–alan hesapları (çevre, yay uzunluğu, daire dilimi, daire halkası, taralı alanlar). Çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir; daire ise çember ile iç bölgesinin birleşimidir. Çemberin çevresi, dairenin alanı hesaplanır.

Çember sorularında en güçlü araç merkezden çizilen yarıçaplardır: Yarıçaplar eşit olduğundan ikizkenar üçgenler; teğet noktasına çizilen yarıçap teğete dik olduğundan dik üçgenler; merkezden kirişe inen dikme kirişi ortaladığından yine dik üçgenler oluşur. Böylece çember soruları çoğu zaman bir Pisagor ya da ikizkenar üçgen sorusuna dönüşür.

Sonuçlar genellikle π cinsinden istenir; bazen soruda "π = 3 alınız" denir. Bu durumda hesabı sonunda π = 3 koyarak yap.

Uzunluk ve alan (yarıçap r, merkez açı α derece)

• Çemberin çevresi 2πr, dairenin alanı πr².
• Yay uzunluğu 2πr · α/360.
• Daire diliminin alanı πr² · α/360; ayrıca dilim alanı = yay uzunluğu · r / 2.
• Daire halkası (yarıçaplar R > r): alan π(R² − r²).
• Yarım dairenin alanı πr²/2, çeyrek dairenin alanı πr²/4.

Açılar

• Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
• Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.
• Çapı gören çevre açı 90°'dir.
• Teğet–kiriş açısı gördüğü yayın yarısıdır.
• İç açı (iki kiriş çemberin içinde kesişirse): karşılıklı yayların toplamının yarısı.
• Dış açı (iki kesen ya da teğet çemberin dışında kesişirse): büyük ve küçük yayın farkının yarısı.
• Kirişler dörtgeninde (köşeleri çember üzerinde) karşılıklı açıların toplamı 180°'dir.

Uzunluk bağıntıları

• Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.
• Dışarıdaki bir noktadan çembere çizilen iki teğet parçası eşit uzunluktadır.
• Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar: (kiriş/2)² + d² = r² (d: merkezin kirişe uzaklığı).
• Kuvvet bağıntıları: Çemberin içinde kesişen kirişler için PA · PB = PC · PD; dıştaki P noktasından çizilen teğet PT ve kesen PAB için PT² = PA · PB (PA yakın, PB uzak kesim noktası).
• Teğetler dörtgeninde (kenarları çembere teğet) karşılıklı kenarların toplamları eşittir: AB + CD = BC + AD; alanı r · u (u: yarı çevre).

Üçgenle ilişkiler

• İç teğet çember: r = Alan / u (u: yarı çevre). Dik üçgende r = (a + b − c)/2 (c hipotenüs).
• Üçgenin iç teğet çemberinde A köşesinden çizilen teğet uzunluğu u − a'dır (a, A'nın karşısındaki kenar).
• Çevrel çember: Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktası, yarıçapı hipotenüs/2'dir.