ALES Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler konu anlatımı

Çarpanlara ayırma ve özdeşlikler, ALES sayısal bölümünde doğrudan genellikle bir soru ile yer alır; ama asıl gücü, uzun görünen hesapları birkaç saniyede bitirmesidir. 73² − 27² gibi bir işlemi kare alarak değil iki kare farkı ile, x + 1/x = 3 iken x³ + 1/x³ değerini x'i bulmadan özdeşlikle hesaplamak ALES'in tam olarak ölçtüğü beceridir.

Bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak, onu çarpımlar biçiminde yazmaktır: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4). Bu yazım; rasyonel ifadeleri sadeleştirmeyi, denklemleri çözmeyi ve büyük sayılarla hesap yapmayı kolaylaştırır. Temel yöntemler ortak çarpan parantezine alma, gruplama, özdeşlikler ve x² + bx + c biçimindeki üç terimlileri ayırmadır.

ALES'te sık görülen soru tipi, bilinmeyenlerin kendilerini değil toplam, çarpım ya da kareler toplamı gibi ifadelerin değerini sormaktır. Bu sorularda değişkenleri tek tek bulmaya çalışmak zaman kaybıdır; istenen ifade bilinen ifadeler cinsinden yazılır.

Temel özdeşlikler

• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Tam kare: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Kareler toplamı: a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab.
• Toplam–fark bağlantısı: (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
• Küp açılımı: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
• Küp toplamı / farkı: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) = (a + b)³ − 3ab(a + b); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) = (a − b)³ + 3ab(a − b).
• Üç terimli kare: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac).
• a² + b² + c² − ab − bc − ac = ½[(a − b)² + (b − c)² + (a − c)²].

x + 1/x kalıpları

• x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = (x − 1/x)² + 2.
• x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x).
• x² − kx + 1 = 0 ise (x ≠ 0) iki taraf x'e bölünür: x + 1/x = k.

Çarpanlara ayırma yöntemleri

• Ortak çarpan: ax + ay = a(x + y).
• Gruplama: ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).
• x² + bx + c: Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bulunur: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
• ax² + bx + c: Çarpımı a · c, toplamı b olan sayılarla orta terim parçalanır: 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3 = (2x + 1)(x + 3).
• Tam kare üç terimli: 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². ax² + bx + c tam kare ise b² = 4ac.
• Değişken değiştirme: (x² + 3x)² − 2(x² + 3x) − 8 gibi ifadelerde t = x² + 3x denir.

Sadeleştirme

• Pay ve payda önce çarpanlarına ayrılır, sonra ortak çarpanlar sadeleştirilir. Terimler (toplamın parçaları) sadeleştirilmez.
• a − b = −(b − a): (x − 2)/(2 − x) = −1.