puanlabs
Ücretsiz başla

TYT Köklü Sayılar konu anlatımı

Matematik · sınavda ortalama 1 soru çıkıyor

Formül atölyesi

Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.

9 bölüm · ~15 dk · 15 etkileşim

Hadi başlayalım! Bu konu 9 bölüm, yaklaşık 15 dakika. Arada sana küçük sorular soracağım.

Köklü sayılar TYT Matematik testinde her yıl 1–2 soruyla yer alır. Konu, üslü sayıların doğal devamıdır: ⁿ√a ifadesi a^(1/n) ile aynı anlamı taşır. Sadeleştirme, dört işlem, paydayı rasyonel yapma ve iç içe kökler sorulan başlıca kalıplardır.

Bu konudaki bütün işlemler iki fikre dayanır: kök içindeki tam kare (ya da tam küp) çarpanları dışarı çıkarmak ve aynı dereceli kökleri birleştirmek.

1Kök nedir, işareti ne olur?

İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.

n ≥ 2 bir doğal sayı olmak üzere ⁿ√a, n'inci kuvveti a olan sayıyı gösterir. n'ye kök derecesi denir; karekökte (n = 2) derece yazılmaz: √a. Örneğin √49 = 7 (çünkü 7² = 49), ∛(−8) = −2 (çünkü (−2)³ = −8), ⁴√81 = 3.

Tanım ve işaret
Çift derece√a için a ≥ 0, √a ≥ 0Kök içi negatif olamaz, sonuç negatif değildir.
Tek derece∛(−27) = −3Kök içi her gerçek sayı olabilir.
Mutlak değer√x² = |x|n çift ise ⁿ√(xⁿ) = |x|, n tek ise ⁿ√(xⁿ) = x.
Kesirli üsamn = ⁿ√aᵐ = (ⁿ√a)ᵐ27^(2/3) = (∛27)² = 9

Çift ve tek derece farkını bir soruda gör:

Kalemi alBir şık seç

√(−4)² − ∛((−2)³) işleminin sonucu kaçtır?

2Kök dışına çıkarma ve içine alma

Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

Kök içindeki tam kare (tam küp) çarpanı ayır, kökünü dışarı yaz. Ters yönde ise dıştaki çarpanın kök derecesi kadar kuvvetini alıp içeri sok (a, b ≥ 0).

Dışarı çıkar, içeri al
Karekök√a² · b = a√b√72 = √(36 · 2) = 6√2; √48 = √(16 · 3) = 4√3
Küpkök∛(a³ · b) = a∛b∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2
İçeri alma3√5 = √9 · 5 = √452∛3 = ∛24
Kalemi alBir şık seç

3√5 = √a olduğuna göre a kaçtır?

3Kökle dört işlem

Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

Çarpma, bölme, toplama
Aynı derece√a · √b = √ab, √a / √b = √ab√12 · √3 = √36 = 6
Farklı dereceÖnce ortak dereceye getir√2 · ∛3 = ⁶√(2³) · ⁶√(3²) = ⁶√72
Toplama, çıkarmaYalnızca benzer köklü terimler birleşir3√2 + 5√2 = 8√2
Uyarı√a + √b ≠ √a + b√9 + √16 = 7, ama √25 = 5
Sadeleştirme⁶√a⁴ = ∛(a²) (a ≥ 0)Kök içindeki üs ve derece aynı sayıyla sadeleşebilir.
Örnek 1: benzer terimlere dönüştür0 / 3 adım

√48 + √75 − √27 işleminin sonucu kaçtır?

    Aynı yöntemi sen uygula:

    Kalemi alBir şık seç

    √50 − √18 + √8 işleminin sonucu kaçtır?

    4Eşlenik ve paydayı rasyonel yapma

    Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.

    Paydada kök kalmasın diye pay ve payda, paydadaki ifadenin eşleniğiyle çarpılır.

    Eşlenik
    İki kare farkı(√a − √b)(√a + √b) = a − b(√a + b)(√a − b) = a − b²
    Tek kök1√a = √a / a6/√3 = 6√3 / 3 = 2√3
    İki terimli payda1√a − √b = √a + √ba − b
    Örnek 2: eşlenikle çarp0 / 3 adım

    6 / (√5 − √2) ifadesinin paydası rasyonel yapılırsa sonuç ne olur?

      5İç içe ve üst üste kökler

      Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 4 bölüm kaldı.

      √(a ± 2√b) kalıbı
      Koşulx + y = a ve x · y = b (x > y > 0)
      Sonuç√a + 2√b = √x + √y ve √a − 2√b = √x − √y
      Örnek√5 + 2√6 = √3 + √23 + 2 = 5 ve 3 · 2 = 6
      2 yoksa oluştur11 − 6√2 = 11 − 2√189 + 2 = 11, 9 · 2 = 18 → √(11 − 6√2) = 3 − √2
      Üst üste kök√a · ∛a = (a43)12 = a23Üslü yazılarak çözülür.
      Örnek 3: iç içe kökleri topla0 / 4 adım

      √7 + 2√10 + √7 − 2√10 toplamı kaçtır?

        Örnek 5: tek kök olarak yaz0 / 4 adım

        √3√3√3 ifadesini tek bir kök olarak yazınız.

          6Köklü sayıları sıralama

          Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.

          Köklü sayılar, ya kareleri (kuvvetleri) karşılaştırılarak ya da dereceleri eşitlenerek sıralanır. 2√3 = √12 ile 3√2 = √18 karşılaştırılırken kök içlerine bakılır: 2√3 < 3√2.

          Örnek 4: dereceleri eşitle0 / 3 adım

          a = 2√3, b = 3√2 ve c = ∛20 sayılarını sıralayınız.

            7Sık düşülen tuzaklar

            Önemli yerleri altını çizer gibi oku.

            Aşağıdaki ifadeler öğrencilerin en sık yaptığı hatalardan derlendi. Hangileri doğru?

            Doğru mu, yanlış mı?

            • √a + √b = √a + b yazılabilir.

            • √x² = x'tir.

            • √−9 bir gerçek sayıdır.

            • 3√5 = √15'tir.

            • √2 · ∛2 = √4'tür.

            • (√7 − √3)(√7 + √3) = 7 + 3'tür.

            • √a − 2√b = √x − √y yazarken küçük olan önce yazılabilir.

            8ÖSYM'de nasıl soruluyor

            Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.

            • Sadeleştirme ve dört işlem: √50 − √18 + √8 gibi benzer terimlere dönüşen ifadeler, en temel kalıptır.
            • Rasyonelleştirme: Paydası √a ± √b olan kesirler sorulur; bazen ardışık terimlerin birbirini götürdüğü "teleskopik" toplamlar gelir.
            • İç içe kök: √(a ± 2√b) biçimindeki ifadelerin sadeleştirilmesi ya da toplamı istenir.
            • Özdeşlik bağlantısı: (√3 + 1)², x = √3 + 1 ve y = √3 − 1 için x² + y² gibi sorular çarpanlara ayırma ile birleşir.
            • Sıralama: Farklı dereceli köklerin sıralanması; derece eşitleme ya da kuvvet alma beklenir.
            • Üslü–köklü geçiş: Kesirli üsler ve üst üste kökler üs kurallarıyla tek kuvvete indirilir.

            9Kısa tekrar

            Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.

            Kuralı tamamla0 / 10

            ⁿ√a = ; çift derecede . √(a²b) = ; kök içine alırken . Yalnızca toplanır. Aynı dereceli kökler çarpılır ya da bölünür; farklıysa önce . Payda √a ± √b ise çarp: (√a − √b)(√a + √b) = . √(a ± 2√b) = √x ± √y (x + y = a, xy = b, ). √(x²) = .